開集合で分離
$ \forall a,b\in X:a,bは開集合で分離される$ :\iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases} $ \forall a\in X\forall A\in2^X:a,Aは開集合で分離される$ :\iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}A\subseteq U\\a\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases} $ \forall A,B\in2^X:A,Bは開集合で分離される$ :\iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}A\subseteq U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases} $ \exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}
$ \iff\exist U\in\mathcal O:a\in U\land\exist V\in\{O\in\mathcal O|U\cap O=\varnothing\}:b\in V
$ \iff\exist U\in\mathcal O:a\in U\land b\in\bigcup\{O\in\mathcal O|U\cap O=\varnothing\}
$ \forall a\in X\forall B\in2^X:\left(\forall b\in B\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}\right)\iff\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\B\subseteq V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}か調べる
$ \forall a\in X\forall B\in2^X:
$ \forall b\in B\exist U,V\in\mathcal O:\begin{dcases}a\in U\\b\in V\\ U\cap V=\varnothing\end{dcases}
$ \iff\forall b\in B\exist V\in\mathcal O:b\in V\land a\in\bigcup\{O\in\mathcal O|V\cap O=\varnothing\}
ここから変形するのは困難かtakker.icon