AMME-2026S-3.@2026-04-23T08:30/10:15
$ \mathcal E_d:=\Set{E|\exist a_\bullet,b_\bullet\in\R^\N:E=\prod_{1\le i\le d}]a_i,b_i]\land a_i<b_i}
伊藤のテキストだと$ \mathfrak I_dを使っている
$ \mathcal A_d:=\Set{A|\exist Q_\bullet\in\mathcal E_d^\N:A=\coprod_{1\le i\le d}Q_i}
非交和をとる
伊藤だと$ \mathfrak F_dを使っている
$ \mathcal A_dが$ \R^dの区間塊となる $ \forall Q\in\mathcal E_d:|Q|:=\prod_{1\le i\le d}(b_i-a_i)
$ \forall A\in\mathcal A_d:m_J(A):=\sum_{1\le i\le d}|Q_i|
Jordan外測度$ \forall A\in\R^d:m_J^*(A):=\inf\Set{m|\exist A^*\in\mathcal A_d:m=m_J(A^*)\land A\subseteq A^*} Jordan内測度$ \forall A\in\R^d:m_{J*}(A):=\sup\Set{m|\exist A^*\in\mathcal A_d:m=m_J(A^*)\land A\supseteq A^*} Jordan可測集合全体の集合を$ \mathcal A_J:=\Set{A\in\R^d|m_J^*(A)=m_{J*}(A)}とする。 ここまで復習
$ \forall X\subseteq\R^dにて、$ \mathcal A_J\cap 2^Xは有限加法族になる $ \forall A\in\mathcal {A_J}_\text{bounded}にて、$ \mathcal A_J\cap 2^Aは有限加法族になる このため、有限加法的測度にするために、全体集合を適当な$ Xで固定して議論することが多い 性質
$ \lambda^*(A)\le m_J^*(A)
Jordan外測度$ \forall A\in\R^d:m_J^*(A):=\inf\Set{m|\exist A^*\in\mathcal A_d:m=m_J(A^*)\land A\subseteq A^*} Lebesgue外測度$ \lambda^*(A):=\inf\{\sum_{i\ge 1}|Q_i||\bigcup Q_i\supseteq A\land Q_i\in\mathcal E_d\} これは$ \forall X\subseteq Y:\inf f^\to(X)\ge\inf f^\to(Y)を使っている
広く探すと、最小値が小さく更新されることはあっても大きくなることはありえない