有限加法族
定義A
(R1)$ \varnothing\in\mathcal A∅∈ℛ 同値な定義が複数存在する
定義B
(R5)$ \forall A,B\in\mathcal R:A\Delta B\in\mathcal R
定義C
(A3)$ \forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A
定義D
各論理式の関係
$ \begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\X\in\mathcal A\end{dcases}\iff\begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\\varnothing\in\mathcal A\end{dcases}
$ \begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\\forall A,B\in\mathcal A:A\cup B\in\mathcal A\end{dcases}\iff\begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\\forall A,B\in\mathcal A:A\cap B\in\mathcal A\end{dcases}
$ \because
(L)⇒(R)：$ \forall A,B\in\mathcal A:A\cap B=X\setminus((X\setminus A)\cup(X\setminus B))\in\mathcal A
(R)⇒(L)：$ \forall A,B\in\mathcal A:A\cup B=X\setminus((X\setminus A)\cap(X\setminus B))\in\mathcal A
$ \begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\\forall A,B\in\mathcal A:A\cap B\in\mathcal A\end{dcases}\iff\begin{dcases}\forall A\in\mathcal A:X\setminus A\in\mathcal A\\\forall A,B\in\mathcal A:A\setminus B\in\mathcal A\end{dcases}
$ \because
(L)⇒(R)：$ \forall A,B\in\mathcal A:A\setminus B=A\cap(X\setminus B)\in\mathcal A
(R)⇒(L)：$ \forall A,B\in\mathcal A:A\cap B=A\setminus(X\setminus B)\in\mathcal A
証明
有限加法族$ \implies集合体
集合体$ \implies有限加法族
$ {\rm F5\land F6}\implies S\Delta S\in{\cal M}\iff {\rm F3}
$ {\rm F1}\land{\rm F2}\implies\forall A,B\in{\cal M};S\setminus((S\setminus A)\cup(S\setminus B))\in{\cal M}\iff{\rm F4}
$ S=\varnothingだとだめなのかな？takker.icon
(F1)~(F6)は$ S=\varnothingでも成立しそうだが
面積の加算が有限であることが重要なので
References