Jordan可測集合全体の集合は集合環

Jordan可測集合全体の集合$ \mathcal A_J\subseteq 2^{\R^d}は集合環である

証明

準備

$ \forall A_1,A_2\in\R^d:m_J^*(A_1)=m_J^*(A_2)=0\implies m_J^*(A_1\cup A_2)=0ー①

(R1') $ \underline{m_J^*(\varnothing)=0\implies\varnothing\in\mathcal A_J\quad}_\blacksquare

(R2) $ \forall A_1,A_2:

$ A_1,A_2\in\mathcal A_J

$ \iff m_J^*(\partial A_1)=m_J^*(\partial A_2)=0

$ \implies m_J^*(\partial A_1\cup\partial A_2)=0

$ \because①

$ \implies m_J^*(\partial(A_1\cup A_2))=0

$ \because \partial A_1\cup\partial A_2\subseteq\partial(A_1\cup A_2)とJordan外測度の単調性

$ \underline{\iff A_1\cup A_2\in\mathcal A_J\quad}_\blacksquare

(R3) $ \forall A,B:

$ A,B\in\mathcal A_J

$ \iff m_J^*(\partial A_1)=m_J^*(\partial A_2)=0

$ \implies m_J^*(\partial A_1\setminus\partial A_2)=0

$ \because

$ \implies m_J^*(\partial(A_1\setminus A_2))=0

$ \because \partial A_1\setminus\partial A_2\subseteq\partial(A_1\setminus A_2)とJordan外測度の単調性

$ \underline{\iff A_1\setminus A_2\in\mathcal A_J\quad}_\blacksquare

$ X\in\mathcal A_Jが成立するとは限らないので、有限加法族にはならない