AMME-2026S-2.@2026-04-16T08:30/10:15
$ \forall I:\R\text{の有界閉区間}:(\forall n\in\N:f_n\underset{\text{uniform in }I}{\to} f)\implies\int_If_n(x)\mathrm dx\to\int_If(x)\mathrm dx\quad(n\to\infty)
これは$ f_nが$ I上でRiemann可積分であることを暗に示しているつもりtakker.icon proof:
$ \left|[a,b]\right|:=b-a
で定める
直積$ \R^dの区間
$ \forall I_\bullet\in2^\R\text{の区間}にて、$ R:=I_1\times I_2\times\dots\times I_Nを$ \R^dの区間と呼ぶ $ \left|R\right|:=\prod_{0<i\le N}\left|I_i\right| を$ Rの体積と呼ぶ
$ N=1のときは長さ、$ N=2のときは面積とも呼ぶ
開区間か閉区間かの区別は本質でない
$ \forall I_\bullet\in2^{\R^d}\forall E\subseteq2^{\R^d}で$ I_\bulletが有界区間で、$ E=\bigcup_{0<i\le N}I_iだったとき、$ E\in\mathcal E^dである 基本集合の取り方は一意でないが、その体積$ \prod_{0<i\le N}\left|I_i\right|は一意に定まる
$ \forall E\in\mathcal E^dの区間の体積を$ m_j(E)とすると、$ m_j:2^\R\to\Rは測度になる 完全加法性まで言えるのか？takker.icon
加法性は言えるけど
集合$ A\subseteq\R^dについて、$ \int_A\llbracket x\in A\rrbracket\mathrm dx=|A|になってくれればいい
Jordan外測度：$ m_J^*:{\R^d}_\text{bounded}\ni A\mapsto\inf_{E\in{\mathcal E_d}_{\supseteq A}}m_j(E)\in\R $ Aを包み込む基本集合で一番小さいもの
Jordan内測度：$ m_{J*}:{\R^d}_\text{bounded}\ni A\mapsto\sup_{E\in{\mathcal E_d}_{\subseteq A}}m_j(E)\in\R $ Aに含まれる基本集合で一番大きいもの
$ {\R^d}_\text{bounded}：有界な$ \R^dの部分集合全体の集合
基本集合が有限個の有界区間で構築した集合であるから、Jordan測度では有界な領域$ {\R^d}_\text{bounded}しか測れない 性質
$ \forall A\in{\R^d}_\text{bounded}:m_{J*}(A)\le m_J^*(A)
判定法の応用例
ここまで
$ \overline{A}=\overline{\Bbb{Q}\cap[0,1]}=[0,1]
$ A^\circ=\left(\bigcup\{q_i\}\right)^\circ=\varnothing
$ \partial A=\overline{A}\setminus A^\circ=[0,1]
$ \therefore m_J^*(\partial A)=1\neq0
よって$ A\notin\mathcal A_J
これは、極限がJordan非可測になる例でもある
$ A_n:=\bigcup_{1\le i\le n}\{q_i\}\in\mathcal A_J
しかし$ \lim_{n\to\infty}A_n=A\notin\mathcal A_J
これは、有限個の和集合もJordan可測になることを示唆している
$ \forall A_1,A_2\in\mathcal A_J:A_1\cup A_2\in\mathcal A_J