5.2 流動則
塑性ひずみ速度$ \dot\bm\varepsilon^eとCauchy応力tensor$ \bm\sigmaが共軸性を持つ(2つのtensorの主軸が一致する)なら、(5.2.1)と書ける $ \dot\bm\varepsilon^e=\frac{\partial\Phi}{\partial\bm\sigma}\dot\lambda (5.2.1)
テキストではパラメタ増分$ \mathrm{D}\lambdaなどと表現されているが、このメモでは時間微分$ \dot\bulletとしたtakker.icon
応力の等方函数だと仮定するため、応力の主不変量の函数で表せる $ \frac{\partial\Phi}{\partial\bm\sigma}=\frac{\partial\Phi}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial\bm\sigma}+\frac{\partial\Phi}{\partial I_2}\frac{\partial I_2}{\partial\bm\sigma}+\frac{\partial\Phi}{\partial I_3}\frac{\partial I_3}{\partial\bm\sigma}
$ =\frac{\partial\Phi}{\partial I_1}\frac{\partial{\rm tr}\bm\sigma}{\partial\bm\sigma}+\frac{\partial\Phi}{\partial I_2}\frac{\partial}{\partial\bm\sigma}\frac12(({\rm tr}\bm\sigma)^2-{\rm tr}(\bm\sigma^2))+\frac{\partial\Phi}{\partial I_3}\frac{\partial\det\bm\sigma}{\partial\bm\sigma}
$ =\frac{\partial\Phi}{\partial I_1}\bm I:{\cal\pmb I}+\frac{\partial\Phi}{\partial I_2}\bm\sigma:(\bm I\bm I-\tilde{\cal\pmb I}):{\cal\pmb I}+\frac{\partial\Phi}{\partial I_3}(\det\bm\sigma){\bm\sigma^{-1}}^\top:{\cal\pmb I}
$ =\frac{\partial\Phi}{\partial I_1}\bm I+\frac{\partial\Phi}{\partial I_2}(I_1\bm I-\bm\sigma)+\frac{\partial\Phi}{\partial I_3}I_3\bm\sigma^{-1}
$ \Phi=f=-S_2-\frac13k^2=\frac13(I_1^2-k^2)-I_2
$ \because偏差第2不変量の式展開$ S_2=\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\bm I}{\mathrm{tr}\bm I}I_1^2+I_2=I_2-\frac13I_1^2 $ \implies\frac{\partial\Phi}{\partial\bm\sigma}=\frac23I_1\bm I-(I_1\bm I-\bm\sigma)+0
$ =\bm\sigma-\frac13I_1\bm I
$ ={\cal\pmb D}:\bm\sigma
$ \underline{\implies\dot\bm\varepsilon^e=\dot\lambda{\cal\pmb D}:\bm\sigma\quad}_\blacksquare
$ {\rm tr}\dot\bm\varepsilon^e=0だから、塑性変形が非圧縮であることを表している
金属塑性に流体のアナロジーを使えることを示唆している
降伏応力$ \bm\sigma_y($ f(\bm\sigma_y)=0)における塑性ひずみ速度を$ \dot\bm\varepsilon^eとしたとき、常に以下が成立する
$ \forall\bm\sigma;f(\bm\sigma)\le0\implies\bm\sigma:\dot\bm\varepsilon^e\le\bm\sigma_y:\dot\bm\varepsilon^e
これは次の2式の論理積と同値
主応力空間にて$ \dot\bm\varepsilon^eの固有値を並べた数vectorが降伏曲面に直交する
ここ厳密な表式不明takker.icon
金属の場合で成り立つことは証明されている
負荷(loading)：$ f(\bm\sigma)=0\land\dot f>0
中立(neutral)：$ f(\bm\sigma)=\dot f=0
除荷(unloading)$ f(\bm\sigma)<0\land\dot f<0
$ f(\bm\sigma)<0は弾性域なので、除荷時は弾性ひずみ速度のみが生じ、塑性ひずみは一定のままになる