チェイン複体

#Fleeting_Notes

チェイン複体(chain complex、鎖複体)

ホモロジー代数学の中心的な概念

アーベル群、加群

双対鎖複体あるいは余鎖複体、コチェイン複体

（余）鎖複体は、位相空間の様々な次元の（コ）サイクルと（コ）バウンダリの間の関係を表す代数的な手段

双対鎖複体 (cochain complex)というのもある

境界作用素(boundary operator)

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「チェイン複体」(chain complex) は数学、特に代数学や代数トポロジーにおける概念です。直感的には、チェイン複体はオブジェクトの列であり、各オブジェクトは隣接するものと「境界作用素」と呼ばれる特定の写像で関連付けられています。

形式的には、チェイン複体は一連のアーベル群（またはより一般的な加群）$ C_n （ここで$ n は整数であり、しばしば位相空間の次元を表します）と、それらの間の群準同型（境界作用素）$ d_n:C_n→C_{n−1} の列であり、これらの写像が次の条件を満たすときに定義されます:

$ d_{n−1}∘d_n=0 \quad \mathrm{for} \ \mathrm{all} \ n

これは、任意の$ n に対して$ d_n によって$ C_n から$ C_{n−1} に写された要素を再び$ d_{n−1} で写すと、ゼロ元（群の単位元に相当する）が得られることを意味します。これは、形式的には連続する写像の合成がゼロ写像であると言っています。つまり、各$ d_n の像は$ d_{n−1} の核の中にあります。これにより、これらの群と写像の列がある種の「整合性」を持つことが保証されます。

チェイン複体は代数的トポロジーにおいて重要であり、空間の位相的な性質を調べるための強力な道具として使用されます。例えば、ある位相空間に対して、その空間のチェイン複体を構築し、それを解析することによって、その空間のホモロジー群を計算することができます。ホモロジー群は空間の「穴」の数や連結性の度合いなどの特徴を捉えるもので、位相空間の基本的な代数的不変量の一つです。

確認用

Q. チェイン複体