表現可能函手
representable functor
局所的に小さい圈$ \bf Cからの反變函手$ F:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}が、或る對象$ a_{\in|{\bf C}|}について反變 Hom 函手と自然同型$ F\cong{\bf C}(\_,a)である時、$ Fを表現可能函手と言ふ。$ {\bf C}(\_,a)を$ Fの表現と呼ぶ。$ aを$ Fの representing object と呼ぶ $ aは同型を除いて一意である
共變函手$ F:{\bf C}\to{\bf Set}が共變 Hom 函手と自然同型$ F\cong{\bf C}(a,\_)である時、$ Fを餘表現可能函手、或いはこちらも表現可能函手と呼ぶ 米田の補題
函手$ F:{\bf C}\to{\bf Set}と對象$ A_{\in|{\bf C}|}を考へる 自然變換$ {\rm Hom}(A,\_)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 自然變換$ {\rm Hom}(\_,A)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 米田寫像 (Yoneda map)
$ {\rm Hom}_{[{\bf C}^{\rm op},{\bf Set}]}({\rm Hom}_{\bf C}(\_,A),F)\cong F(A)
$ {\rm Hom}_{[{\bf C},{\bf Set}]}({\rm Hom}_{\bf C}(A,\_),F)\cong F(A)
弱い米田の補題
強い米田の補題$ FK\cong\lbrack A,V\rbrack(A(K,\_),F):=\int_{x\in A}V(A(K,x),Fx)
米田埋め込み (Yoneda embedding)$ よ_A(X):={\rm Hom}(X,A),$ よ^A(X):={\rm Hom}(A,X) $ よ_\bullet:{\bf C}\to{\bf Set}^{{\bf C}^{\rm op}},A\mapsto{\rm Hom}(\_,A),f\mapsto(f;\_)
$ よ^\bullet:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}^{\bf C},A\mapsto{\rm Hom}(A,\_),f\mapsto(\_;f)
$ \cal V-豐饒圈では$ よ_\bullet:{\bf C}\to{\bf Set}^{{\cal V}^{\rm op}},$ よ^\bullet:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}^{\cal V}を考へる $ F:{\bf C}\to{\bf Set}に對して$ F(A)\cong\int^{X\in{\bf C}}F(X)\times よ_A(X)
δ函數$ f(a)=\int^{x\in\R}f(x)\delta_a(x)dx $ F:{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}に對して$ F(A)\cong\int^{X\in{\bf C}}F(X)\times よ^A(X)
餘米田 (co-Yoneda)