表現可能函手
representable functor
圈$ \bf Cを局所的に小さな (localy small) 圈とする。對象$ X_{\in|{\bf C}|}に就いて、Hom$ {\bf C}(\_,X),$ {\bf C}(X,\_)はそれぞれ集合である。圈$ \bf Cの全ての對象に就いて、對應$ X\mapsto{\bf C}(\_,X)によって得られる集合の圈$ \bf Setへの函手$ {\bf C}\to{\bf Set}、または、對應$ X\mapsto{\bf C}(X,\_)によって得られる集合の圈$ \bf Setへの函手$ {\bf C}\to{\bf Set}を、表現可能函手と呼ぶ 共變函手$ {\rm Hom}(A,\_):{\bf C}\to{\bf Set}
對象$ Xを集合$ {\rm Hom}(A,X)へ寫す 射$ f:X\to Yを寫像$ {\rm Hom}(A,f):{\rm Hom}(A,X)\to{\rm Hom}(A,Y)へ寫す
恆等射$ {\rm id}_Xを恆等寫像$ {\rm id}_{{\rm Hom}(A,X)}へ寫す 合成射$ f;g:X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Zを合成寫像$ {\rm Hom}(A,f;g)={\rm Hom}(A,f);{\rm Hom}(A,g)へ寫す
$ {\rm Hom}_{\bf C}(A,\_)とも$ {\bf C}(A,\_)とも書く
反變函手$ {\rm Hom}(\_,B):{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set} 雙函手$ {\rm Hom}(\_,\_):{\bf C}^{op}\times{\bf C}\to{\bf Set} $ {\rm Hom}(A,B)\xrightarrow{{\rm Hom}(h,B)}{\rm Hom}(A',B)\xrightarrow{{\rm Hom}(A',f)}{\rm Hom}(A',B')\xleftarrow{{\rm Hom}(h,B')}{\rm Hom}(A,B')\xleftarrow{{\rm Hom}(A,f)}{\rm Hom}(A,B)
Hom が集合以上の構造を持つならば、その構造を持つ對象の圈への函手を考へればよい Hom 函手の域が自身である場合を內部 Hom 函手 (internal Hom functor)$ {\rm hom}(-,-):{\bf C}^{op}\times{\bf C}\to{\bf C}と言ふ 內部 Hom 函手を持つ圈を閉圈 (closed category) と言ふ 米田の補題
函手$ F:{\bf C}\to{\bf Set}と對象$ A_{\in|{\bf C}|}を考へる 自然變換$ {\rm Hom}(A,\_)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 自然變換$ {\rm Hom}(\_,A)\Rarr F全ての集合から、集合$ F(A)への自然な全單射 (米田寫像) が存在する 米田寫像 (Yoneda map)$ {\rm Hom}({\rm Hom}(\_,A),F)\simeq FA,$ {\rm Hom}(よ(A),F)\simeq FA
弱い米田の補題
強い米田の補題$ FK\simeq\lbrack A,V\rbrack(A(K,\_),F):=\int_{x\in A}V(A(K,x),Fx)
米田埋め込み (Yoneda embedding)$ よ(X)={\rm Hom}(A,X) 餘米田 (co-Yoneda)