多樣體
manifold
位相多樣體 (topological manifold) $ \R^nを n 次元 Ευκλείδειος 空閒とし、距離と近傍に依る位相が入ってゐるとする。Hausdorff 空閒$ Mの全ての點$ x\in Mに就いて、$ \R^nの開集合$ U'\in {\cal O}_{\R^n}への同相寫像$ \varphi:U\to U'を持つ開集合$ _{x\in}U\in{\cal O}_Mが在る$ \forall x_{\in M}\exist U_{\in{\cal O}_M}\exist\varphi_{:U\to U'_{\in{\cal O}_{\R^n}}}(x\in U\land U\approx U')場合、$ Mを實 n 次元位相多樣體と呼ぶ 寫像$ \varphiを局所座標系 (local coordinate system。chart) と呼ぶ
對$ (U,\psi)を座標近傍 (chart) (coordinate neighborhood) と呼ぶ
集合$ \Lambdaで添え字附けられた chart 族$ S:=\{(U_\lambda,\varphi_\lambda)|\lambda\in\Lambda\}が空閒$ Mを覆ってゐる$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda=M時、族$ Sを座標近傍系 (atlas) (system of coordinate neighborhoods) と呼ぶ $ (U,\varphi_{:U\to U'}),$ (V,\psi_{:V\to V'})を chart とする。寫像$ \psi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)を、座標變換 (coordinate transformation)$ (U,\varphi)\to(V,\psi)と呼ぶ
座標變換$ \psi\circ\varphi^{-1}は$ R^n上の同相寫像になる
寫像$ \varphi\circ\psi^{-1}:\psi(V\cap U)\to\varphi(V\cap U)も座標變換$ (V,\psi)\to(U,\varphi)になる
Ευκλείδειος 空閒$ \R^nへではなく、半空閒$ H^n:=\{(x_1,…,x_n)\in \R^n|x_m\ge 0\}への局所座標系を考へ、局所座標系の像が半空閒の境界を含む場合が有るならば境界附き位相多樣體 (topological manifold with boundary) と呼ぶ 可微分多樣體 (differentiable manifold) 位相多樣體$ Mの座標近傍系$ \varphiが$ C^k級ならば$ C^k級可微分多樣體或いは$ C^k級多樣體と呼ぶ 函數$ \varphiの k 囘微分導函數$ \varphi^{(k)}が連續である事をk 囘連續的微分可能或いは$ C^k級と呼ぶ
$ C^1級以上の可微分多樣體は一意に$ C^\infty級にでき、一意に解析的$ C^\omegaにできる 可微分構造 (differentiable structure)
位相多樣體$ Mと$ C^k級 atlas$ Sの組$ (M,S)を$ C^k級可微分構造と呼ぶ 滑らかな多樣體 (smooth manifold)
位相多樣體$ Mの座標近傍系$ \varphiが無限囘微分可能ならば滑らかな多樣體或いは$ C^\infty級多樣體と呼ぶ 函數$ \varphiが何囘でも連續的微分可能ならば無限囘微分可能或いは$ C^\infty級或いは滑らかな函數と呼ぶ
解析的多樣體 (analytic manifold)
位相多樣體$ Mの座標近傍系$ \varphiが解析的ならば解析的多樣體と呼ぶ 函數$ \varphiが各點で收束冪級數で表せるならば解析的 (解析函數) 或いは$ C^\omega級と呼ぶ 位相多樣體$ Mが複素 Euclidean 空閒$ \Complex^nへの局所座標系を持ち、局所座標系が正則であるならば複素多樣體と呼ぶ 槪複素多樣體
代數多樣體 (algebraic variety) 射影多樣體 (projective variety)
symplectic 多樣體
低次元多樣體
3 次元
nil と sol は Lie 群の$ G_{\rm nil}と$ G_{\rm sol}の關聯なのかな PL 多樣體 (PL manifold (piecewise linear manifold)) Stiefel 多樣體
體$ Kを$ \R又は$ \Complexとし、$ Wを$ K上の計量線形空閒とする。$ Wの$ n次元部分線形空閒全體の集合$ {\rm Gr}_n(W)を$ n次元 Graßman 多樣體と言ふ Fisher 情報行列 (Fisher information matrix)$ {\cal I}(\theta) 割線多樣體