確率密度関数

probability density function

確率$ P(a\le X\le B)を$ \int^a_b f(x)dxで求められるような関数$ fのこと

$ \rho(x)とか$ f(x)とかで表記されることが多い

累積分布関数$ F(x)を微分したもの

$ f(x) = F'(x)

面積が確率になっている

確率変数$ X に対して、区間$ [a, b] における確率は以下で表される

$ P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx

以下を満たす

$ f(x)\ge0

$ \int^\infin_{-\infin}f(x)dx=1

独立な確率変数の和の確率密度関数

$ Z=X+Yの確率密度関数$ \rho_Z(z)は、$ \rho_Z(z)=\int_\mathbb{R}\rho_X(z-y)\rho_Y(y)dy

$ X,Yは独立な確率変数

期待値は$ \mu=E(X)=\int xf(x)dx

e.g. 確率変数が$ 0\le X\le 6のときは$ \int^6_0とする

分散は$ \sigma^2=V(X)=\int(x-\mu)^2f(x)dx