期待値 - mrsekut-p

期待値

expected value

母平均と同じ

だよな？

有限確率空間上の期待値

確率変数$ Xの期待値$ Eは

$ E(X)=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\{\omega\})

$ Xは有限確率空間$ (\Omega, P)上の確率変数

例えば

$ \Omega=\{\omega_1,\cdots,\omega_N\}

$ X(\omega_j)=x_j

$ P(\{\omega_j\})=P_j

のとき$ E(X)=x_1P_1+\cdots+x_NP_Nになる

一般の確率空間上の期待値

$ E(X)=\int_\Omega X(\omega)dP(\omega)

ルベーグ積分を使って定義する

$ Xは確率空間$ (\Omega,\mathcal{F},P)上の確率変数

確率密度関数から求める

確率密度関数が$ f(x)のとき

期待値は$ \mu=E(X)=\int xf(x)dx

分散は$ \sigma^2=\int(x-\mu)^2f(x)dx

https://mathwords.net/mitsudokeisan

なんで$ E(X^2)=\int x^2f(x)dxになる？

$ \int xf(x^2)dxとはならない？

確率変数が変わるだけで、確率は変わらないので。

定義関数の期待値

事象$ Aが起こることを表す定義関数$ 1_A

の、期待値$ E(1_A)はその事象が起こる確率$ P(A)と等しくなる

$ E(1_A)=P(A)

性質

$ E(a X)=a E(X)

$ E(X+c)=E(X)+c

$ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

$ E(X Y)=E(X) E(Y)

$ Xと$ Yが独立の時

$ X\le Y\Rightarrow E(X)\le E(Y)

$ |E(X)|\le E(|X|)

$ \because |\sum a_i|\le\sum|a_i|

関数の合成

$ (\phi\circ X)(\omega)=\phi(X(\omega))