確率変数
random variable
確率「変数」だが、「関数」なんだなmrsekut.icon
定義
有限確率空間$ (\Omega,P)上の関数$ X:\Omega\to\mathbb{R}のことを確率変数という
一般の確率空間では
一般の確率空間$ (\Omega,\mathscr{F},P)では、F可測関数Xを確率変数という すなわち$ \forall a\in\mathbb{R}に対して、$ \{\omega\in\Omega|X(\omega)\lt a\}\in\mathscr{F}が満たされるとき$ Xを確率変数という
$ \Omega_X: $ Xの値域
にたいして
$ P_X(A)=P(X^{-1}(A))と定義する
ここで$ X^{-1}(A)=\{\omega\in\Omega|X(\omega)\in A\}\in\Omega
$ P_Xは$ \Omega_X上の確率測度となる 確率測度$ P_Xを$ Xの確率分布という
$ X,Yが独立とは
$ \forall x\in\Omega_X,\forall y\in\Omega_Yに対して、$ P(X=x,Y=y)=P(X=x)(Y=y)が成り立つ
性質
$ X,Yが独立のとき$ \Leftrightarrow
$ \forall A\subset \Omega_X, \forall B\sub\Omega_Yに対して、$ P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)が成立
$ X,Yが独立とは
$ \forall x\in\Omega_X,\forall y\in\Omega_Yに対して、$ P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)(Y\le y)が成り立つ
確率分布を前提にして、確率変数を捉えるとわかりやすい
(これが数学的にどこまで厳密に言いきっていいものなのかわからないけど)
まず確率分布があって、その確率分布の内のいずれかの値を取るような変数が確率変数
確率変数$ Xが決まれば、その確率$ P(X)がわかる