確率空間 - mrsekut-p

確率空間

probability space

定義

以下を満たす$ (\Omega,\mathscr{F},P)を確率空間という

$ \Omega:集合

$ \mathscr{F}:$ \Omegaの部分集合の族で次を満たすもの

F1. $ \phi,\Omega\in \mathscr{F}

F2. $ A\in\mathscr{F}\Rightarrow A^c\in \mathscr{F}

F3. $ A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots\in\mathscr{F}\Rightarrow\bigcup^\infin_{n=1}A_n\in\mathscr{F}

$ P: 各$ A\in\mathscr{F}に対して実数$ P(A)が以下を満たす

P1. $ A\in\mathscr{F}\Rightarrow P(A)\ge0

P2. $ A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots\in\mathscr{F}\Rightarrow P(\bigcup^\infin_{n=1}A_n)=\Sigma^\infin_{n=1}P(A_n)

$ A_i\cap A_j=\phi \;(i\ne j)

P3. $ P(\Omega)=1

用語

$ \mathscr{F}: σ-加法族

σ-field

P2のことをσ-加法性という

σ-additivity

$ PがP1とP2だけを満たすとき、$ Pを測度という

さらにP3を満たすとき、確率測度という

F1~F3は$ \mathscr{F}の公理

P1~P3は$ Pの公理