直積と冪の間の随伴

参考

P.56 例2.1.6

P.110注意4.1.23(c)

結論

任意の集合$ Bについて以下が成り立つ

$ \mathrm{Set}\overset{-\times B}{\underset{(-)^B}\rightleftarrows}\mathrm{Set}

こういう随伴関係

$ -\times B \dashv (-)^B

1つ目の関手

集合$ Bを固定して、直積を作る

関手$ -\times B:\mathrm{Set}\to\mathrm{Set}

https://gyazo.com/a1adec27b9951ed407de7ef70deb1205

2つ目の関手

集合$ Bを固定して、冪を作る

関手$ (-)^B:\mathrm{Set}\to\mathrm{Set}

https://gyazo.com/2c68c740219f0455f59c13fc5941f0be

これら2つの関手は、随伴の定義をそのまま適用した以下が成り立つ

①$ \mathrm{Set}(A\times B,C)\cong\mathrm{Set}(A,C^B)

これが任意の集合$ A,Cについて成り立つ

これらを用いてこんな関数を考えられる

$ g:A\times B\to Cを、$ \bar{g}:A\to C^Bで定義する

②$ (\bar{g}(a))(b)=g(a,b)

$ \bar{g}は$ gのカリー化

$ f:A\to C^Bを、$ \bar{f}:A\times B\to Cで定義する

③$ \bar{f}(a,b)=(f(a))(b)

①が成り立っているので、こういった定義ができる

②や③の右辺と左辺が同義だよ、ということが言える