極限を関手とみなす
from 関手と極限
「極限を取る操作」を「関手」とみなす
下図のどの部分のこと #??
対象の対応
$ F\to\lim_\leftarrow F
詳しくは、『圏論入門』.icon p.143
射の対応
下図のような状況を考える
https://gyazo.com/79fe1c33ad3c782927c3155af2e22765
関手圏Fun$ \mathscr{A}^Jから、$ \mathscr{A}への関手を考える
対象として$ F,G,Hなど、射として$ \alpha,\betaなど
圏$ \mathscr{A}の中には、
$ Fによって写された$ Fj,Fkなどがあり、$ Fによる極限$ \lim_\leftarrow Fが存在する
これは錐$ (\lim_\leftarrow F, \{p\})
$ Gについても同様
青い部分は$ Fによる極限錐で、緑の部分は$ Gによる極限錐
それぞれ独立に存在しているもの
$ Fの話だけをしているときは、緑の構造はできていないmrsekut.icon
ここで、$ Gについてのみを考える
極限錐は緑
$ Gについての錐の一つとして$ \lim_\leftarrow Fを見る
どういうことか
例えば直積のような普通の錐について考えているときはこんな感じだったmrsekut.icon
https://gyazo.com/ebffee6f63ff8522be149b7efb760722
$ Xや$ \lim_\leftarrow Gは$ Gへの錐であり、後者が極限錐だった
この$ Xの一つとして$ \lim_\leftarrow Fを見る
こう
https://gyazo.com/bef5d158238accb1a7778e216695ad42
最初の図に書き込むならこう
https://gyazo.com/f9a62fbe6db3782ed4ad12f1a6b46d11
$ \lim_\leftarrow Gは極限錐なので、上図のように$ \lim_\leftarrow Fから$ \lim_\leftarrow Gへの仲介射$ \lim_\leftarrow \alphaが一意に決まる
以上により、対象の対応と、射の対応は取れた
残す関手の条件は
射の合成の保存
恒等射の保存
射の合成の保存について
関手の図の黄色の部分を今回の話に適用したいmrsekut.icon
https://gyazo.com/dc0987c0ba830d07777eaab76fe65123
要は以下を示したい
$ \lim_\leftarrow\beta \circ\lim_\leftarrow\alpha =\lim_\leftarrow(\beta\circ\alpha)
詳しくは『圏論入門』.icon pp.143-144
参考
『圏論入門』 4.5