有向グラフのパスの圏
圏$ \mathcal{I}=(I, \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right))
$ \mathrm{Path}みたいな圏の名前ついていないんだね、意外とmrsekut.icon
圏の構成
有向グラフ$ (I,(J(i,i'))_{i,i'\in I} )に対して 対象
有向グラフの頂点$ i\in I
射
辺ではなくmrsekut.icon
つまり、$ iから$ i'へ行く辺の組を1つの射と見ている
有向グラフの図が圏っぽいから誤解がないように注意が必要mrsekut.icon
https://gyazo.com/e52537997cf301e8cd95e4c64aca2e3d
合成
$ \circ: \widetilde{J}\left(i', i''\right)\times\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)\to \widetilde{J}\left(i, i''\right);(\varphi,\psi)\mapsto \varphi\circ\psi
$ (\varphi_n,\cdots,\varphi_1)\circ(\psi_m,\cdots\psi_1):=(\varphi_n,\cdots,\varphi_1,\psi_m,\cdots\psi_1)
イメージ通りmrsekut.icon
恒等射
$ \mathrm{id}_i:=\widetilde{J}\left(i, i\right)_0
イメージ通りmrsekut.icon
記号の意味
『層とホモロジー代数』.iconに倣っているmrsekut.icon
↑にはもう少し詳細に定義が書かれている
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)=\coprod^\infin_{n=0}\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_{n}
有向グラフの辺を辿って$ iから$ i'へ行く行き方全体の集合
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_{n}
有向グラフの$ n個の辺を辿って$ iから$ i'へ行く行き方全体の集合
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_n\sube\widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)という関係
元は辺の組$ (\varphi_n,\cdots,\varphi_1)で、それをつなげれば$ iから$ i'の1つの路となる
$ nは、$ iと$ i'の間にある辺の個数を表すことになる
だから$ n=0, i=i'なら、$ iに対する恒等射のみを持つ1元集合$ \{\mathrm{id}_i\}になる
$ n=0,i\ne i'なら、そんな辺は存在しないので空集合になる
例えばこんな有向グラフだとすると
https://gyazo.com/82272faa2c4559c20b5deee4db64b166
こんな感じになる
$ \widetilde{J}\left(i, i\right)_0=\{\mathrm{id}_i\}
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_0=\emptyset
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_1=\{\varphi_4\}
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)_3=\{(\varphi_3,\varphi_2,\varphi_1), (\varphi_7,\varphi_6,\varphi_5)\}
$ \widetilde{J}\left(i, i^{\prime}\right)=\{\varphi_4,(\varphi_3,\varphi_2,\varphi_1), (\varphi_7,\varphi_6,\varphi_5)\}
参考
↓昔のメモ、一応残しているが、自分でも何言っているのかよくわからん
このDiGraphから集合の圏Setへの関手が、有向グラフの具体例になる 有向グラフは、
辺の集合
頂点の集合
辺ごとの、(始点、終点)の写像
の組
と考えられる
具体例をかいて？？？？？？？？？？mrsekut.icon
このDiGraphが「有向グラフ」の「概念」を表してる感じ
Setへの関手が具体例
この対応を見ると、関手圏Funがすごく具体的に想像できるようになる 関手圏$ [\mathrm{DiGraph},\mathrm{Set}] の対象が、一つ一つの具体的な有向グラフになる
これの、射つまり自然変換は
有向グラフの構造を保つ対応付けをするもの
とみなせる
昔読んだ時、意味不明だった
手元にないので参照できないmrsekut.icon