多項式環 - mrsekut-p

多項式環

polynomial ring

インフォーマルな定義

以下の集合と演算により環が定義できる

集合$ A[x] について

係数が$ a\in Aの多項式

「$ A上の多項式」という言い方をする

$ \mathbb{N}から$ Aへの写像

$ A 係数の、変数$ x の多項式全体の集合を$ A[x] と表記する

$ A\sub A[x] という関係になる

$ Aの元は、多項式全体の集合の中の定数項になる

演算について

和と積の演算を以下の式で定義する

$ f(x)\circ g(x)=\sum^n_{i=0}\sum^m_{j=0}a_i\circ b_j x^{i+j}=\sum^{n+m}_{l=0}(\sum_{i+j=l}a_i\circ b_j)x^l

係数ごとに和積を考えている

式中の「$ \circ」は+もしくは*ッテ意味だよmrsekut.icon

環$ R 上の多項式環 $ R[x]

可換環$ Rの元を係数とする多項式全体の集合

これは可換環になる

体$ F 上の多項式環 $ F[x]

体$ Fの元を係数とする多項式全体の集合

係数の話なので、次数の大きさは関係ないmrsekut.icon

例

$ F_3[x] は係数が0,1,2の多項式

Q係数多項式からなる集合$ \mathbb{Q}[x]

$ xの多項式の係数が全て有理数の多項式

多項式の剰余環$ F[x]/f

体$ F 上の多項式$ f(x)\in F[x] 、$ \deg f(x)=m\gt1に対して

$ F[x] /(f(x))=\left\{a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{m-1} x^{m-1} \mid a_{i} \in F\right\} 　

に加法と乗法を以下のように定義すると環になる

加法: $ F[x] の加法と同じ

乗法: $ a(x)b(x)\in F[x]/f(x) $ =「$ a(x)b(x)を$ f(x)で割ったときの余り」

定理

$ F[x]/f(x) が体 $ \Leftrightarrow$ f(x)は$ F上既約

いい感じノートに切り出したいmrsekut.icon

表記

$ R_{n,q}=\mathbb{F}_q[x]/(x^n-1)

$ x^n-1を法とする、$ \mathbb{F}_q上の多項式環

一般的な表記かどうかは知らんmrsekut.icon

定理

$ A が整域なら、$ A[x] も整域である