原始多項式 - mrsekut-p

原始多項式

primitive polynomial

とある最小多項式

故に、とある既約多項式

原始元を根として有する既約多項式

素体$ \mathbb{F}_p 上既約な$ h 次多項式$ f(x)\in\mathbb{F}_p[x] は、

$ f(x)=0の解の一つである$ \alphaが$ \mathbb{F}_{p^h}の原始元のとき、

$ f(x)を$ \mathbb{F_p}上の原始多項式という

わかりにくい....mrsekut.icon*2

乗法位数$ |\alpha|=p^h-1がなりたつ

例. $ f(x)=x^2+2x+2が$ \mathbb{F_3}上の原始多項式であることを示す

つまり、$ f(x)=0の解の一つである$ \alphaが、$ \mathbb{F}_{3^2}の原始元なら題意を満たす

だから$ \alphaが$ \mathbb{F_9}の原始元であることを示せばいい

ということは、$ \alpha^{9-1}の時に初めて1になればいい

$ f(x)は既約

定義的に一応確認しておく必要があるmrsekut.icon

$ f(\alpha)=0 とする

$ \Rightarrow \alpha^2=\alpha+1

これから、$ \alpha^3, \alpha^4,..と調べていくと$ \alpha^8のとき、初めて1になる

故に$ |\alpha|=3^2-1

よって$ f(x)は原始多項式

定理

$ f(\alpha)=0 \Leftrightarrow f^{*}\left(\alpha^{-1}\right)=0が成り立つ

$ f(x)が原始多項式$ \Leftrightarrow$ f^\ast(x)は原始多項式

補足

$ f^\astは、$ fの相反多項式

定理23.2

$ f(x)\in\mathbb{F}_p[x] に対して、$ f(\alpha)=0\Rightarrow f(\alpha^p)=f(\alpha)^p=0

例

$ p= 2,h= 3のとき、

$ \prod_{a\in\mathbb{F}_8}(x-a) =x^8-x=x(x+ 1)(x^3+x+ 1)(x^3+x^2+ 1)　

$ f_1(x) =x^3+x+ 1で、$ f_1(\alpha)=0

$ f_2(x) =x^3+x^2+ 1

とすると、$ \alpha^3+\alpha+ 1 = 0と$ 1 + 1 = 0より

$ \alpha^3=\alpha+ 1

$ \alpha^4=\alpha^2+\alpha

$ \alpha^5=\alpha^3+\alpha^2=\alpha^2+\alpha+ 1

$ \alpha^6=\alpha^3+\alpha^2+\alpha=\alpha^2+ 1

$ \alpha^7=\alpha^3+\alpha= 1

$ \therefore |\alpha|=7=p^h-1より$ f_1は原始多項式

$ f^\ast_1=f_2より、$ f_2も原始多項式

$ f^*は$ fの相反多項式

$ \alpha^p=\alpha^2, (\alpha^2)^p=\alpha^4と定理23.2より、

$ f_1(\alpha) = 0\Rightarrow f_1(\alpha^2) =f_1(\alpha^4) = 0

$ \therefore f_1(x) = (x-\alpha)(x-\alpha^2)(x-\alpha^4)

$ f_2=f^\ast_1より、$ f_2(\alpha^{-1}) = 0が分かる

ここで$ \alpha^{-1}=\alpha^{-1}\alpha^7=\alpha^6

$ (\alpha^6)^2=\alpha^5

$ (\alpha^5)^2=\alpha^3

なので$ f_2(x) = (x-\alpha^6)(x-\alpha^5)(x-\alpha^3)

以上により、

$ f_1は$ \alpha, \alpha^2, \alpha^4の$ \mathbb{F}_2上の最小多項式（$ \alpha^2と$ \alpha^4はの共役根）

$ f_2は$ \alpha^3, \alpha^5, \alpha^6の$ \mathbb{F}_2上の最小多項式である。

#??

$ \mathbb{F}_q上の$ h次多項式$ fについて考える時に

既約多項式を考えるときは、$ xの取りうる選択肢は$ 0,1,\cdots,q-1だけだったのに、

原始多項式を考える時は$ xの取りうる選択肢は$ 0,1,\cdots,p^h-1になるの？

考え方としてそうなだけで別に$ xには何を入れても良いのかmrsekut.icon