相反多項式 - mrsekut-p

相反多項式

$ f(x)=a_0+a_1x+\cdot+a_rx^rに対して、

$ f^*(x)=x^rf(x^{-1})=a_r+a_{r-1}x+\cdot+a_0x^rのことを

$ f(x)の相反多項式という

次数も変わりうる

もちろん変わらないこともある

例

$ f(x)=3x^3+2x^2+xの相反多項式は、$ f^\ast(x)=x^2+2x+3

見たら分かる通り、次数も変わりうる

定理

$ f(\alpha)=0 \Leftrightarrow f^{*}\left(\alpha^{-1}\right)=0が成り立つ

$ f(x)が既約$ \Leftrightarrow$ f^\ast(x)が既約

$ f(x)が原始多項式$ \Leftrightarrow$ f^\ast(x)は原始多項式

$ \mathbb{F}_2上の多項式である$ f(x)=x^3+x^2+xって既約じゃないじゃん

その相反多項式$ f^*(x)=x^2+x+1って既約じゃん

上の定理の2番め成り立たないじゃん

どこがおかしい？？mrsekut.icon*2

「次数が同じ多項式に限る」みたいな制限があるのか？