既約多項式
以下をすべて満たす整数係数多項式は有理数体$ \mathbb{Q}上既約である
最高次の項の係数が $ p で割り切れる
それ以外の係数が $ p で割り切れる
定数項が $ p^2 で割り切れない
その多項式が既約多項式かどうかの判定
$ \mathbb{F}_q上の多項式なら、$ f(0),\cdots,f(q-1)を見て、全て$ 0でなければ既約多項式
これ以上割り切れないという意味なので
例: $ \mathbb{F}_2上の多項式を考える
何故なら$ f(0),f(1)\ne 0だからこれ以上割り切れない
$ f(x)=x^3+x^2+x+1は既約多項式ではない
何故なら$ f(1)=0であるので、少なくとも$ x+1で割り切れる
最終的に$ (x+1)^3に変形できる
$ x^3は既約多項式ではない
なぜなら、$ x^3は$ xや$ x^2で割り切れるから
普通に考えて$ x^nだけの形のものは、既約多項式ではない
「$ x」自体は、既約多項式
$ x=3みたいにして、素因数分解とアナロジーすればわかりやすい
27は素数ではない、3は素数である
定理
$ f(x)が既約$ \Leftrightarrow$ f^\ast(x)が既約 補足
参考