Setと空集合の間の写像の不可解性に対する納得

対象$ A,\emptyset\in\mathrm{Set}の間に射が存在するかどうかを考える

$ A\ne \emptysetとする

ここで考える必要があるのは以下の3パターンのみ

①$ \emptyset\to A

②$ A\to\emptyset

③$ \emptyset\to \emptyset

①$ \emptyset\to A

この射は常に存在する

なので$ \emptysetは始対象となる

この写像のことを空写像と言う

$ \emptysetから任意の集合への写像が存在すると言っている

なぜか

ここで、写像のグラフの定理を参照する

集合$ X,Yと、直積の部分集合$ G⊂X\times Yに対して

$ G=G(f)を満たす写像$ f:X→Yが存在するための必要十分条件は

$ ∀x\in X, \exist!y\in Y:(x,y)∈Gを満たすことである

最後の条件を以下に書き換える

$ ∀x(x∈X\Rightarrow ∃!y∈Y\land(x,y)∈G)

「$ xが$ Xの元ならば、$ Yの元$ f(x)がただ一つ定まる」

今回のものに適用するならば

$ \forall x : x\in\emptyset\Rightarrow\exist! a\in A\land (x,y)\in G

含意の前提、「$ xが$ \emptysetの元ならば」が偽なので、この命題は真になる

なので、「$ Gは存在する」

よって射は存在する

包含写像というのもある

正直、完全には納得していないmrsekut.icon

②$ A\to\emptyset

行き先がないので、こういう写像は存在しない

③$ \emptyset\to \emptyset

恒等射は一つ存在する

①の議論を適用して考えている

①→②→③と見るより、①→③と見たほうがわかりやすい

0の0乗の話に似ている

参考

これが一番わかりやすかったmrsekut.icon