分数環 - 🍊miyamonz🍊

分数環

可換環Rとその積閉集合Sにおいて

$ S^{-1}Rの導入

$ R\times Sに

関係

$ (x,s)\sim (x',s') \Leftrightarrow ある $ t\in S に対して$ t(xs' - x's) = 0

と定義すると

$ \simは同値関係になる

この同値関係による商集合を$ S^{-1}R := R\times S / \simとかき、

元$ (x,s) \in R \times Sを含む同値類を

$ \frac{x}{s} = x/s \in S^{-1}R とかく

したがって

$ \frac{x}{s} = \frac{x'}{s'} $ \Leftrightarrow ある$ t \in S に対して、$ t(xs' - x's) = 0

演算

集合$ S^{-1}Rに和と積を定義する

和

$ \frac{x}{s} + \frac{x'}{s'} := \frac{xs' + x's}{ss'}

積

$ \frac{x}{s} \frac{x}{s} := \frac{xx'}{ss'}

$ (x,x' \in R, s,s' \in S)

well-defined 同値類のとりかたによらないを確認せよ

この和と積において、$ S^{-1}Rは再び1/1を単位元とする可換環になることが検証できる

この可換環$ S^{-1}Rを,

積閉集合SによるRの分数環または商環という

分数の話

R->S^-1Rのしぜんな写像

x->x/1

は準同型

のはなし

通常の小学校でならう分数になるのは、Sが零因子を持たないとき

整数から逆元を付加して体に拡張する考えとは、別の抽象化

これは、零因子のおかげでできているはず

など考えていたが、あとに商体とかでてくるし、体への拡張をさらに段階に分けたと考えられそう

よう考えるなあ