分数環の同値関係
$ R\times Sに
関係
$ (x,s)\sim (x',s') \Leftrightarrow ある $ t\in S に対して$ t(xs' - x's) = 0
と定義すると
証明
$ x \sim x
$ t(xs - xs) = 0 より明らか
$ x \sim y \Rightarrow y \sim x
両辺にマイナスをかければ明らか
$ x \sim y , y \sim z \Rightarrow x \sim z
$ (x,s), (y,t), (z,u) \in R \times S
$ (x,s)\sim (y,t)
$ (y,t)\sim (z,u)
のとき, $ \exists a,b \in Sとして
$ a(xt - ys) = 0
$ b(yu - zt) = 0
である このとき、１つ目の式にb,２つ目の式にaをかけて、a' = abとして
$ a'(xt - ys) = 0
$ a'(yu - zt) = 0
両辺同士を第一式 * u + 第二式 * sをして
$ a'((xt - ys)*u + (yu - zt)*s) = 0
→$ a'(xtu - ysu + ysu - zst) = 0
→$ a'(xtu - zst) = 0
→$ a't(xu - zs) = 0
積閉集合なので$ a't \in S
よって、x~z
この同値関係による商集合を$ S^{-1}R := R\times S / \simとかき、 元$ (x,s) \in R \times Sを含む同値類を
$ \frac{x}{s} = x/s \in S^{-1}R とかく
したがって
$ \frac{x}{s} = \frac{x'}{s'} $ \Leftrightarrow ある$ t \in S に対して、$ t(xs' - x's) = 0
コメント
$ t\in S に対して$ t(xs' - x's) = 0
のtは、今回は可換環で考えていて、割り算がないからこういう定義になる
割り算がなくても、同値関係において、本質を示すことができているmoyamin.icon