分数環の普遍性による特徴づけ

定理

Sを可換環Rの積閉集合とする

Rから分数環$ S^{-1}R への自然な準同型

$ f_S : R \rightarrow S^{-1}Rを考える

$ x \mapsto x/1

このとき、$ f_S(S) \subset (S^{-1}R)^\timesである

s/1にたいして、1/sがあるから

環準同型$ f: R \rightarrow R^\timesで$ f(S) \subset (R')^\timesなるものに対して

環準同型$ g:S^{-1}R \rightarrow R' で、

$ g\circ f_S = f なるものが唯一存在する

分数環$ S^{-1}R はこの性質をみたす環として、同型を除いて一意的に定められる

https://gyazo.com/42c175be1d4a127ffc73dbd022b218ff

証明

$ f_S(s) {1 \over s} = 1 ゆえ$ f_s(s) は$ S^{-1}R の単元、すなわち$ f_s(S) \subset (S^{-1}R)^\times

途中

メモ

この普遍性について、p132にも出てくる

この普遍性はテンソル積にも同様のことが言える

f_sとfに対して、gが一意に定まることも大事だが

上の諸性質を満たすような環として、$ S^{-1}Rが一意であることがすごい

分数環が、この性質によって特徴づけられている

f(S)がR'の単元群の中に入るという条件

これって乗法モノイドの単元群だよな

これの意味合いがきになる

入らないとどうなるか

そもそも$ S^{-1}Rへの像が単元群に入るのか

にあるとおり、局所環への自然な準同型から、像が単元群に入ることが構成できる

R上での逆元の存在が問われてない

写像の性質から、値域側の某が言えるときがある　というのは納得ができる

f_sにおける性質と言える

のもやや納得ができる

局所環のおかげで、特定の条件下においてRと準同型にある環が、局所環を介して語ることができる