環準同型 - 🍊miyamonz🍊

環準同型

群における準同型を、環まで拡張したもの

２つの環RとR'の間の写像$ f : R \mapsto R'が

$ f(x+y) = f(x) + f(y)

$ f(xy) = f(x)f(y)

$ f(1) = 1' ($ 1\in R, 1' \in R'は乗法の単位元）

を満たすとき、fを環準同型（写像）という

同型

群の場合と同様に、fが全単射の時を環同型といい、

2つの環RとR'との間に環同型写像がある時、RとR'は同型といい

$ R \simeq R'

とかく

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群においてはf(0) = 0'はひとつめの式から従う

3つめは自動的には導かれないので、議論を円滑にするため通常は仮定される

例

任意の環Rと自然数$ n \in \bold{N}に対して

$ n1 := 1+1+....+1 （n個, $ 01 := 1）

と定め、有理整数環$ \bold{Z}からの写像$ \bold{Z} \rightarrow \bold{R}

$ n \mapsto (sgn\ n) |n| 1 =: n1

を考えると、これはZからRへの環準同型

sgnはnの符号