環
$ R \times R \rightarrow R $ ((x,y) \mapsto x,y)
乗法モノイドの単位元eを1とかく
加法、乗法の2つの演算に関して、分配法則が成り立つ時、Rを環という $ x(y+z) = xy + xz
$ (y+z)x = yx+zx
$ x,y,z \in R
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環Rにおいては、加法群の単位元0について
$ 0x = x0 = 0 $ (x \in R)
が成り立つ
証明：$ 0x = (0+0)x = 0x+0xを両辺から0xを引く
したがって、1=0なら$ x = 1x = 0x = 0より、環Rは0のみからなる自明な環 零環 有理数$ \bold{Z}は通常の加法と乗法に関して可換環になる有理整数環