hom屈曲 - 雑多な感じ

hom屈曲

2020/4/14

hom函手$ \hom_C\colon C^\mathrm{op}×C→\mathbf{Set} の左側で

$ C が「折り畳まれて」いる

折り目にあたる上辺を考えたい

名前ありそう……dragoon8192.icon

2020/4/15

たぶん、何かしらの随伴関係における転置、反転置に相当する

定義

局所的に小さい圏$ C,D において

対象$ a \in \operatorname{Obj}(C) のhom屈曲

$ a_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,a).\hom_C

$ \colon *\mapsto a^\circ

射$ h\colon a→b のhom屈曲

hom集合の大域要素

$ h_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,b).\hom_C

$ \colon * \mapsto h

https://gyazo.com/049d8473a9dfc7d325e2d6f1ac929ffb

函手$ F\colon C→D のhom屈曲

hom函手の自然変換

$ F_♯\colon \hom_C⇒(F^\mathrm{op}×F)\hom_D

https://gyazo.com/80c78ca20b527a470d520524a0afae95

適用は写像

$ (a,b).F_♯\colon $ \hom_C(a,b)→\hom_D(a.F,b.F)

$ h;;(a,b).F_♯=h.F

$ h_♯;(a,b).F_♯=(h.F)_♯

https://gyazo.com/98df580bf7593b887416154b9846b3bc

自然変換$ \alpha\colon F⇒G\colon C→D のhom屈曲

自然変換

$ \alpha_♯\colon \hom_C⇒(F^\mathrm{op}×G)\hom_D

https://gyazo.com/1f2fcec80b5d44ca4fe10eee52b60fc5

適用は写像

$ (a,b).\alpha_♯\colon $ \hom_C(a,b)→\hom_D(a.F,b.G)

$ h;;(a,b).\alpha_♯=h.\alpha

$ =a.\alpha;h.G=h.F;b.\alpha

$ h_♯;(a,b).\alpha_♯=(h.\alpha)_♯

性質

hom屈曲の定義の一貫性

シャープ格上げ、ハット格上げを行えば全ての定義は一致する

ただし、

$ 1^\mathrm{op}×1=1

$ \hom_1(*,*)=1_\mathbf{Set}

横結合のhom屈曲

$ F,G\colon C→D ,$ F',G'\colon D→E

$ \alpha\colon F⇒G ,$ \alpha'\colon F'⇒G' について

$ (FF')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)F'_♯

$ (\alpha F')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)F'_♯

$ (F\alpha')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)\alpha'_♯

$ (\alpha \alpha')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)\alpha'_♯

射のhom屈曲のスライディング性

hom函手のスライディング性を用いれば

射のhom屈曲は

対象のhom屈曲とhom写像の結合

$ h\colon a→b について

$ h_♯=b_♯;(h,b).\hom_C

$ =a_♯;(a,h).\hom_C

自然変換のhom屈曲のスライディング性

自然変換のhom屈曲は

函手のhom屈曲と自然変換、hom函手の結合

$ \alpha\colon F⇒G\colon C→D について

$ \alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D

$ =F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D

に帰着する

hom反屈曲

hom屈曲は一対一の対応

逆変換としてhom反屈曲