hom函手
hom functor
定義
局所的に小さい圏$ C において
hom函手$ \hom_C \colon C^\mathrm{op}×C→\mathbf{Set}
対象
$ (a,b) を
hom集合$ \hom_C(a,b) へ
射
$ (f,g)\colon (a,b)→(a',b') を
つまり$ f\colon a'→a ,$ g\colon b→b'
写像へ$ \hom_C(f,g)\colon \hom_C(a,b)→\hom_C(a',b')
$ \colon (h\colon a→b) \mapsto f;h;g
性質
写像の性質: hom函手のスライディング性
定義よりとくに
$ h=b^\circ;;(h,b).\hom_C
$ =a^\circ;;(a,h).\hom_C
集合と写像の圏$ \mathbf{Set} は局所的に小さい圏だが、大きい圏
よってhom函手は「小さい圏」の圏に含まれない
局所的に小さい圏の圏？
図式による表示
hom函手
1-2図式
https://gyazo.com/95d39bf0464049dc8c63344962d8a88e
局所的に小さい圏の圏のデカルト積についてのP-1図式（射が函手なのでP-F図式と呼ぶべきか）
https://gyazo.com/f744e90d82216d2c5835179226846bed
上２つを合わせたP-F-N立体図式
https://gyazo.com/2717231a7de80ffe2388684c6cf7a15a
射への適用
シャープ格上げを用いて
$ f\colon a'→a ,$ g\colon b→b'
$ \hom_C(f,g)=(f,g).\hom_C
F-N
https://gyazo.com/4a603e8587c94c021cb1ef9f828d2dd5
P-F
https://gyazo.com/f0bb01a120ab3aba0f04d56dc765ccf3
P-F-N
https://gyazo.com/a5507833a24fe4ba66bf94310695cc7e
要素
$ C の射$ h\colon a→b は
$ h\in \hom_C(a,b)
大域要素に一対一対応する
集合の要素と大域要素
これは$ \mathbf{Set} の射
$ h_♯\colon 1_\mathbf{Set} → (a,b).\hom_C
記号を使って明示的に書いた
F-N
https://gyazo.com/a539a4afc36de67e34dda13417549bda
P-F
https://gyazo.com/a7dac7a74a7e4b42b03a4f43cfe95bd3
P-F-N
https://gyazo.com/71de028d3cdfff5c51d7282fd258c200
hom写像
定義より
$ h;;(f,g).\hom_C = f;h;g
P-F-N
https://gyazo.com/7d58c6d311f864cf47e87943c4b535a7
hom函手のスライディング性
とくに
$ h=b^\circ;;(h,b).\hom_C
$ =a^\circ;;(a,h).\hom_C
https://gyazo.com/fc1f255362d019e53244eaf7a0469b27https://gyazo.com/a6228b2d7b55751e89d5a6dc7c116073https://gyazo.com/58a10bbc5a39e6a3111b4f1e0712f33f
Ref.icon hom-functor in nLab