シャープ格上げ - 雑多な感じ

シャープ格上げ

対象を函手に

射を自然変換に格上げする圏論の記法

単位圏$ 1\coloneqq \{ \emptyset \} として

$ a \in \operatorname{Obj}(C) は函手$ a^\sharp : 1\to C

（$ \mathbf{Cat} の大域要素）

$ \emptyset.a ^\sharp = a

$ f\colon a\to b は自然変換$ f^\sharp \colon a^\sharp \Rightarrow b^\sharp

$ \emptyset.f ^\sharp =f

さらに$ 1 → C と$ C^1 を同一視すれば

同型$ \sharp = \left\lang \_^\sharp \right\rang \colon C \to C^1

このとき

射の結合は自然変換の縦結合へ

$ (f;g)^\sharp = f^\sharp ; g^\sharp

函手$ F\colon C\to D の適用は函手の合成とウシロヒゲ結合へ

$ (a.F)^\sharp = a^\sharp \ast F

$ (f.F)^\sharp = f^\sharp \ast F

自然変換の適用はマエヒゲ結合と横結合へ

$ (a.\alpha)^\sharp = a^\sharp \ast \alpha

$ (f.\alpha)^\sharp = f^\sharp \ast \alpha

以上の性質から♯は省略することができる

適用が結合に変わることだけ気をつければ

dragoon8192.iconチルダ格上げの記号を替えた

$ f^\sim

チルダって色々使うし

思ったよりも出しにくいし

なんか上げるしシャープで

ハッシュ#じゃないよシャープ♯だよ

逆もやりやすい