ハット格上げ

対象を射に

圏を函手に

一対一ではない

対象

$ a^\wedge \coloneqq \mathrm{id}_a\colon a\to a

圏

$ C^\wedge \coloneqq \mathrm{Id}_C\colon C\to C

函手

$ F^\wedge \coloneqq \mathrm{ID}_F\colon F\Rightarrow F

このとき

恒等変換の適用を考えれば

$ a.F^\wedge = (a.F)^\wedge

さらに、函手は恒等射を保存するので

$ (a.F)^\wedge = a ^\wedge.F

また、函手の結合は自然変換の横結合へ

$ (F* G)^\wedge = F^\wedge * G^\wedge

ヒゲ結合を自然変換の横結合で

$ F*α = F^\wedge*α

$ α*F = α*F^\wedge

2023/3/23 やっぱりもどした

$ a^\circ