横結合のhom屈曲

$ F,G\colon C→D ,$ F',G'\colon D→E

$ \alpha\colon F⇒G ,$ \alpha'\colon F'⇒G' について

横結合のhom屈曲は以下のように分解できる

$ (FF')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)F'_♯

$ (\alpha F')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)F'_♯

$ (F\alpha')_♯=F_♯;(F^\mathrm{op}×F)\alpha'_♯

$ (\alpha \alpha')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)\alpha'_♯

証明

$ F_♯=(F^\circ)_♯

$ F^\circ\alpha'=F\alpha'

などが成り立つ

よって、自然変換と自然変換の横結合についてのみ示せば十分

定義よりコンポーネントは写像

$ (a,b).(\alpha\alpha')_♯\colon $ \hom_C(a,b)→\hom_D(a.FF',b.GG')

$ h;;(a,b).(\alpha\alpha')_♯=h.\alpha\alpha'

$ =(a.\alpha;h.G).\alpha'

$ =a.F\alpha';(a.\alpha;h.G).G'

$ =h;;(a,b).\alpha_♯;(a.F,b.G).\alpha'_♯

図の対角線https://gyazo.com/7e1c83be7f7a3de25bf8eab6561f6801

任意の$ h について等しいので写像として等しい

$ (a,b).(\alpha\alpha')_♯=(a,b).\alpha_♯;(a.F,b.G).\alpha'_♯

$ =(a,b).\left[ \alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)\alpha'_♯ \right]

コンポーネントが等しいので自然変換として等しい

$ (\alpha \alpha')_♯=\alpha_♯;(F^\mathrm{op}×G)\alpha'_♯