自然変換のhom屈曲のスライディング性

自然変換のhom屈曲は

函手のhom屈曲と自然変換、hom函手の結合

$ \alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D

$ =F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D

に帰着する

証明

$ {}^\forall h\colon a→b

$ h;;(a,b).\alpha_♯

$ =(h.G);;(a.\alpha,b.G).\hom_D

$ =(h.F);;(a.F,b.\alpha).\hom_D

$ =h;;(a,b).(G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D)

$ =h;;(a,b).(F_♯;(F×\alpha)\hom_D)

任意の要素について等しいので写像として等しい

$ (a,b).\alpha_♯

$ =(a,b).(G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D)

$ =(a,b).(F_♯;(F×\alpha)\hom_D)

さらに、コンポーネントが等しいので、自然変換として等しい

$ \alpha_♯ =G_♯;(\alpha^\mathrm{op}×G)\hom_D

$ =F_♯;(F^\mathrm{op}×\alpha)\hom_D