二項演算 - bbr-math-memo

二項演算

binary operation

2つの数に対して演算をして新たな数を作るもの二項演算と呼ぶ。

(二項関係は2つの要素の関係性を示し、二項演算には2つの要素に対する演算結果がある。)

一般的に使われているのは以下のようなものになる。他にもたくさんある。(定義しだい)

加算 $ a + b

減算 $ a - b

乗算 $ a \times b

除算 $ a \div b

二項演算でよく現れる定理(演算子により実際にどれが成立するのかは異なる。要注意。)

演算子はここでは$ \circ, \starで書いているが、そこに何が入るかは示していない。

零元の存在

$ a \circ 0 = 0

ここでは零元を$ 0と表記しているが、数値の$ 0ではないことがある。

$ a \circ 1 = a

ここでは単位元を$ 1と表記しているが、数値の$ 1ではないことがある。

例えば、加算の場合の単位元は$ 0になる。

逆元の存在

$ a \circ b = 1

$ bは$ aの逆元。$ a^{-1}と表記される。

$ a \circ b = 0 \quad (ただし、a \ne 0 かつ b \ne 0)

零因子が存在しないならば、以下が成り立つ。

$ a \circ b = 0 \iff a = 0 または b = 0

$ 1 \circ a = 0 となる0以外の a の存在。

マイナス元の存在

$ a \circ -1 = -a

$ -1 \circ -1 = 1

結合法則(結合順序(計算順序)を変えても同じ結果)

$ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)

交換法則(交換しても同じ結果)(可換)

$ a \circ b = b \circ a

$ k \star (a \circ b) = (k \star a) \circ (k \star b)

$ (k \circ l) \star a = (k \star a) \circ (l \star a)

これらの法則がどう成り立つかで、数学的構造での分類が変わる。

参考