三角関数
trigonometric function
正弦: $ \sin
余弦: $ \cos
正接: $ \tan
微積分に便利な形式
code:tex
\begin{aligned}
\cos θ &= \frac{e^{iθ} + e^{-iθ}}{2},\\
\sin θ &= \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{2i},\\
\tan θ &= \frac{e^{iθ} - e^{-iθ}}{i(e^{iθ} + e^{-iθ})}
\end{aligned}
code:tex
\begin{aligned}
\cos (α \pm β) &= \cos α \cos β \mp \sin α \sin β,\\
\sin (α \pm β) &= \sin α \cos β \pm \cos α \sin β
\end{aligned}
code:tex
\begin{aligned}
\end{aligned}
三角関数の逆数
余接関数: $ \cot x = \frac{1}{\tan x}
正割関数: $ \sec x = \frac{1}{\cos x}
余割関数: $ \cosec x = \frac{1}{\sin x}
$ (\sin x)' = \cos x
$ (\cos x)' = -\sin x
$ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} = 1 + \tan^2x
$ \sin x, \;\cos x の導関数は互いに入れ替わるだけなので何度でも微分できる:
$ (\mathrm{D}_x)^n\sin x = \sin\left(x+\frac{nπ}{2}\right)
$ (\mathrm{D}_x)^n\cos x= \cos\left(x+\frac{nπ}{2}\right)
余角の関係からみれば簡単あんも.icon
$ \cos x= \sin\left(x+\frac{π}{2}\right)
$ \sin x= -\cos\left(x+\frac{π}{2}\right)
$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 +\cdots
$ \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 +\cdots
@kamo_hiroyasu: 三角関数を定義するのに直角三角形や単位円周を使わずに微分方程式や冪級数や定積分を使いたくなるのは、ユークリッド平面を経由したくない時です。厳密性は無関係です。 @kamo_hiroyasu: 三角関数を単位円周の射影として定義する方法も、なんなら直角三角形の角の大きさと辺の長さの比との関係から鈍角について定義してアドホックに一般角に拡張する方法も、微分方程式や冪級数や定積分を使う方法と同程度に厳密です。ユークリッド平面の構成を厳密にすればいい。 code:julia
using Plots
x = -2π:0.01:2π
plot(x, sin.(x), framestyle=:origin)
tanのいい感じのグラフ？あんも.icon
リストの連結？
間をNaNで埋めたら一回で描けそうあんも.icon
code:jl
using Plots
x = -π/2 + 0.1:0.01:π/2 - 0.1
plot(x, tan.(x), framestyle=:origin)
z = x .- π
plot!(z, tan.(z), framestyle=:origin)
絶対値で切ってNaNにする
Plotsがいい感じに切ってくれる
code:julia
using Plots
xs = -2π:0.01:2π
ys = tan.(xs)
bad = abs.(ys) .> 20
plot(xs, ys, framestyle=:origin)