三角関数の微分
$ (\sin x)' = \cos x
$ (\cos x)' = -\sin x
$ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} = 1 + \tan^2x
$ \sin x, \;\cos x の導関数は互いに入れ替わるだけなので何度でも微分できる:
$ (\mathrm{D}_x)^n\sin x = \sin\left(x+\frac{nπ}{2}\right)
$ (\mathrm{D}_x)^n\cos x= \cos\left(x+\frac{nπ}{2}\right)
余角の関係からみれば簡単あんも.icon
$ \cos x= \sin\left(x+\frac{π}{2}\right)
$ \sin x= -\cos\left(x+\frac{π}{2}\right)
$ \sin x の導関数を定義に従って求める:
code:tex
\begin{aligned}
\mathrm{D}_x\sin x
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\sin x \cos \Delta x + \cos x\sin\Delta x) -\sin x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x (\cos \Delta x -1) + \cos x\sin\Delta x}{\Delta x}\\
&= \sin x \cdot \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} + \cos x\cdot\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\
\end{aligned}
二つの極限値$ \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{\sin\Delta x}{\Delta x},\; \lim_{\Delta x\to 0}\tfrac{\cos \Delta x -1}{\Delta x} を求める
x→0としたときのsinx/xの極限値
$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1
$ \lim_{h\to 0}\tfrac{\cos h -1}{h} について分子分母に$ (\cos h +1) を掛けて整理する:
code:tex
\begin{aligned}
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h}
&= \lim_{h\to 0}\frac{(\cos h -1)(\cos h +1)}{h(\cos h +1)}\\
&= \lim_{h\to 0}\frac{\cos^2 h -1}{h(\cos h +1)}\\
&= \lim_{h\to 0}\frac{-\sin^2 h}{h(\cos h +1)}\\
&= -\left(\lim_{h\to0}\sin h\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{1}{\cos h +1}\right)\\
&= 0
\end{aligned}
よって$ \mathrm{D}_x\sin x = \cos x である
同様にして$ \cos x の導関数を求める:
code:tex
\begin{aligned}
\mathrm{D}_x\cos x
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\cos x \cos\Delta x -\sin x \sin\Delta x) -\cos x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos x(\cos\Delta x -1) -\sin x \sin\Delta x}{\Delta x}\\
&= \cos x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos\Delta x -1}{\Delta x} -\sin x\lim_{\Delta x}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}\\
&= -\sin x
\end{aligned}
これらの結果と商の微分を用いて$ \tan x の導関数を求める:
code:tex
\begin{aligned}
\mathrm{D}_x\tan x
&= \mathrm{D}_x\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\
&= \frac{1}{\cos^2x}\Big(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'\Big\\
&= \frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x}\\
&= \frac{1}{\cos^2x}
\end{aligned}