複素対数関数
blu3mo.icon
ln(x)はx>0と習った
でも、$ e^{i\pi}=-1なので、$ \ln(-1)=iπといえるはず
拡張された定義でもあるのかな
重複が抜けていますtakker.icon
$ e^{i\pi}=e^{i\pi+2n\pi}\ .\mathrm{for~}\forall n\in \Bbb{Z}なので、
$ \ln(-1) : i\pi+2ni\piという多価函数がより正しいです
記号は適当にごまかしました
$ =で結べないので
$ i\pi+2ni\piから適当な代表値(主値という)をとってきて、それを戻り値とすれば函数として定義できます
定義域を制限すると言ったほうが正確かも
$ \mathrm{Log}(-1)=i\pi
$ \mathrm{Ln}は余り使われないっぽい
大文字Log/Lnが複素対数関数?blu3mo.icon
逆か、多価関数でない対数関数がLog/Lnか
$ \ln:\Bbb{R}_+\rightarrow\Bbb{R}: （実数）対数関数、標準対数 ここで、$ \Bbb{R}_+:=\{x\in\Bbb{R}|x>0\}
$ \ln(z), z \in \Bbb{C}: 複素対数関数
存在しませんtakker.icon
$ zに対応する値が無限個現れてしまう
なるほどyosider.icon
$ \mathrm{Log}:\Bbb{C}\backslash\{0\}\ni z\mapsto \ln|z|+i\arg z\in\Bbb{C}: 複素対数関数の主値
より一般にオイラーの公式 $ e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\thetaで考えると
既にまとめてくれている記事がありましたmiyamonz.icon
雑にやると$ \ln z=\ln\left(|z|e^{i\arg z}\right)=\ln|z|+i\arg zとなりそうだから、$ \mathrm{Log}z:=\ln|z| + i\arg zと定義するという感じですかねtakker.icon
「なりそう」とぼやかしたのは、まだ定義していない複素対数関数の性質を使っているから
前者の式展開が成り立つよういい感じに定義すると、後者になる
主値では$ \theta \in (-\pi, \pi] とするのが一般的らしいyosider.icon
偏角$ \arg z の主値を$ \mathrm{Arg}z \in (-\pi, \pi] として、$ \mathrm{Log}z:=\ln|z| + i\mathrm{Arg} zと定義する
$ \arg zを主値として定義する場合もあるっぽいtakker.icon
$ \def\if{\mathrm{if}}\arg: \Bbb{C}\backslash\{0\}\ni z\mapsto\begin{dcases}\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}\quad&\if\ \Re x>0\\\pi+\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}&\if\ \Re x<0\land \Im z\ge0\\-\pi+\tan^{-1}\frac{\Im z}{\Re z}&\if\ \Re z<0\land \Im z<0\\\frac\pi2&\if\ \Re z=0\land\Im z >0\\-\frac\pi2&\if \Re z=0\land\Im z<0\end{dcases}\in(-\pi, \pi]
まあでも$ \mathrm{Log}と揃えたほうが見やすいから、$ \mathrm{Arg}を使うことにするか
これが丁寧に説明されていてよかったblu3mo.icon
Arg(z), arg(z), Ln(z), ln(z)をそれぞれ定義していってる
よさそうtakker.icon
一つづつ手順を踏んで式展開している感じ
多価関数を函数とみなしている点がアレだけどまあそこはしょうがない
英語の文献だったので一瞬びっくりした
英語の数学資料はほとんど読んだことがない
大学生のくせに英語の文献探せないマン
複素対数関数のln(2)って何になりますか..?blu3mo.icon
$ \ln(1)=0+i2πn
$ \ln(2)=..?
$ \mathrm{Ln}(2)=0.693...
$ \def\Ln{\mathrm{Ln}} 2=e^{\Ln(2)}=e^{\Ln(2)}\times1=e^{\Ln(2)}\times{e}^{i2πn}=e^{\Ln(2)+i2πn}
$ \ln(2)=\mathrm{Ln}(2)+2iπnか!blu3mo.icon
（違ったら教えてください）blu3mo.icon
イコールの結び以外は大丈夫だと思いますtakker.icon
多価関数とその値の一つを結びたい場合、何の記号を使うべきですか?blu3mo.icon
多価関数ってどうやって定義されるんだろうyosider.icon
多価関数っていう言葉自体を使わないべきtakker.icon
函数は「入力$ xに対して出力が一意に定まる関係」のこと
出力が一意に定まらない時点で多価関数は函数ではない
函数ではないものを多価「函数」なんて呼んだら混乱を招くだけ
ex: $ \ln(1)と$ 2πを結びたい場合
$ 2π∈\ln(1)かと最初思ったけど、集合ではないので違う..? blu3mo.icon
集合として定義すればいけそうyosider.icon
やるとしたらこうかなtakker.icon
$ 2\pi\in \exp^\leftarrow[\{1\}]
ここで、$ f^\leftarrow[B]:=\{x\in A|f(x)\in B\}
函数っぽい表記をまず止めるべきtakker.icon
$ f(x)という表記は、入力$ xに対して出力$ f(x)がただ一つだけ存在するときにしか使えない
多価関数は函数ではないので、多価関数を函数っぽい表記で表そうとする段階で矛盾している
$ f(x,y)=0のような陰関数の表記で書くしかない
$ \forall z\in\Bbb{C}\exist w\in\Bbb{C};z=e^w
ちなみに「対応」という概念もあるnishio.icon
次元が上がるにつれて、成立する演算法則がひとつ、またひとつと消えていく
八元数だと加算の交換法則が不成立となる
使いにくくなる話は共通しているけど、抽象度が上がっているかは微妙か
対応も写像みたいな記号使うことあるんだtakker.icon
$ \twoheadrightarrowって全射の記号以外でもつかうんだtakker.icon $ \ln(e)=Ln(e)+2iπnなのか
References
整理すると下の定理になるerniogi.icon
分枝 :
対数を一価関数(一価函数)として意味を持たせるには，定義する集合を制限しないといけない->分枝あるいは葉の選択 $ \mathrm{Log} z := \ln|z| + i\thetaは対数関数の主分枝
$ \Omegaが単連結で，$ 1\in \Omegaかつ$ 0\notin \Omegaであるとする．このとき対数関数の分枝$ F(z) = \log_{\Omega}(z)で 1. $ Fは$ \Omegaで正則で
2. 任意の$ z \in \Omegaに対して$ e^{F(z)}=z,
3. $ rが実数で$ 1に近いとき$ F(r)=\log r
となるものが存在する.
つまり， 各分枝$ \log_{\Omega}(z)は正の数に対して定義される標準対数の拡張erniogi.icon $ Fを関数$ z\mapsto\frac{1}{z}の原始関数として構成することにより示される
関連 / 依存関係