単連結
これ知らないtakker.icon
って書けばだれか教えてくれるはず
複素平面内の領域$ \Omegaが単連結であるとは，$ \Omega内の端点を共有する任意の2本の曲線がホモトープerniogi.icon これだと意味不明だから依存関係を回収する
領域，連結，ホモトープの定義から
以下の(1),(2)は同値
開集合$ \Omega \in \Bbb{C}が連結であるとは，ふたつの交わらない空でない開集合$ \Omega_1, \Omega_2で$ \Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2をみたすものが存在しないこと．$ \mathbb{C}内の連結な開集合のことを領域と呼ぶ． 閉集合$ Fが連結であるとは, 交わらない空でない閉集合$ F_{1}, F_{2}により$ F=F_{1} \cup F_{2}と表せないこと． 連結(2) : 曲線による定義
集合$ \Omegaが弧状連結であるとは，$ \Omega内の任意の2点が，$ \Omega内のある (区分的に滑らかな) 曲線により結ベること 開集合$ \Omegaが弧状連結である$ \iff開集合$ \Omegaが連結
$ \gamma_0,\gamma_1を開集合$ \Omega内の端点を共有する2本の曲線とする．
$ \gamma_{0}(t),\gamma_{1}(t)を$ \lbrack a, b\rbrack上で定義されたそれぞれのパラメータ付けとすれば，
$ \gamma_{0}(a)=\gamma_{1}(a)=\alpha, \quad \gamma_{0}(b)=\gamma_{1}(b)=\beta
となる．各$ 0 \leq s \leq 1対しある曲線$ \gamma_{s} \subset \Omegaが存在して，それが$ \lbrack a, b\rbrack上で定義された$ \gamma_{s}(t)によりパラメータ付けられ，
連続性が抜けてるかもerniogi.icon
任意の$ sに対し，
$ \gamma_{s}(a)=\alpha, \quad \gamma_{s}(b)=\beta,
かつ任意の$ t \in\lbrack a, b\rbrackに対し
$ \left.\gamma_{s}(t)\right|_{s=0}=\gamma_{0}(t), \quad \left.\quad \gamma_{s}(t)\right|_{s=1}=\gamma_{1}(t)
が成り立つ．
主張 : 1本の曲線がもう1本の曲線に$ \Omegaからはみでることなく連続的に変形されるときは2本がホモトープ
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連結だけど単連結じゃない場合
内部に穴があるとき？yosider.icon
その通りです．穴の空いた平面$ \Bbb{C}-\{0\}は単連結ではないですerniogi.icon
Lemma : 単連結な領域の任意の正則関数は原始関数を持つ Corollary(Cauchyの積分定理) : $ fが単連結領域$ \Omegaで正則ならば，$ \Omega内の任意の閉曲線$ \gammaに対して$ \int_{\gamma} f(z) d z=0 これで$ 1/zの単位円周での積分が$ 2\pi iであり，$ 0でないことから穴空き平面は単連結でないことがわかります
他にもある？
単連結のほうが少ない?ので，むしろ単連結である例を覚えておく方がよいのかもしれませんerniogi.icon
例
截線平面$ \Bbb{C}-\{(-\infty,0\rbrack\}(一般に任意の扇形) 凸 : 開集合$ \Omega内の任意の2点においてそれらを繋ぐ線分が$ \Omegaに含まれること
穴のない連結集合は全部単連結な気がしてしまうyosider.icon