閉集合 - 井戸端

閉集合

集合$ Cの任意の点列$ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}が$ x \in \mathbb{R}^{m}に収束すれば点$ xは$ Cに属することを$ Cが閉集合であるという．

$ C \sub \mathbb{R}^{m}が閉集合$ \iff$ C上の任意の収束する点列$ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}, \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a \in \mathbb{R}^{m}に対し、$ a \in C

$ \forall C\subseteq\R^m;(C\text{ is a closed set}:\iff\forall x:\N\to C;(x\text{ is a Cauchy series}\implies\lim_{i\to\infin}x_i\in C))

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集合$ Cの全ての点で成り立つ必要があるので境界部分$ \partial Cの点も含む

開集合だと、境界上の点に収束する点列で成り立たない

開集合と閉集合には以下のような関係がある．

$ Uが$ \mathbb{R}^{m}の開集合$ \Rightarrow補集合$ \mathbb{R}^{m}-Uは $ \mathbb{R}^{m}の閉集合

$ Cが$ \mathbb{R}^{m}の閉集合$ \Rightarrow補集合$ \mathbb{R}^{m}-Cは$ \mathbb{R}^{m} の開集合

自分のprojectからのコピーなので図がdark theme用で見にくいですerniogi.icon

ごめんなさい....