命題の否定の余談
雑に切り出した、タイトルは後で改善するnishio.icon
命題の否定の余談
命題とその否定の論理和が常に真にならなければいけないということかもyosider.icon
任意の$ U, Pに対して、$ (\forall x \in U \ P(x)) \lor \lnot(\forall x \in U \ P(x))が真でなければいけない
もし$ \lnot(\forall x \in U \ P(x))が「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたさない」だとすると、$ Uの要素のうち1つ以上全部未満が$ Pをみたさないような$ U, Pを取ったときに、上記が真でなくなる
例takker.icon
設定
$ U=\{1,2\}
$ P(x)\iff x>1
このときもし$ \lnot(\forall x \in U \ P(x))が「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたさない」だとする
すると$ P(2)が$ \rm Tなので、「$ Uのすべての要素$ xは条件$ P(x)をみたさない」は$ \rm Fになる
一方$ \forall x \in U \ P(x)は$ \rm Fになる
$ P(1)が$ \rm Fだから
よって$ (\forall x \in U \ P(x)) \lor \lnot(\forall x \in U \ P(x))が$ \rm Fになってしまう
論理積が常に偽にならなければいけないというのもないと1つに定まらないか
述語$ P(x) の真理集合が$ Aのとき，述語$ \lnot P(x) の真理集合は何か.
$ \lnot P(a)が真となるような集合を表せばいいわけだから・・・
$ A \cap A^c = \emptyset, A \cup A^c = Uだよねnishio.icon
(別の話？)
別の話ではないつもりyosider.icon
述語$ P(x) の真理集合が$ Aのとき，述語$ \lnot P(x) の真理集合は何か.
という言説の$ P(x)に相当する部分が今は$ (\forall x \in U \ P(x))だけど、どう扱えば良いんだろう、と考えているのが↓
なるほど。Uが有限集合$ \{x_1, x_2, x_3\} なら$ (\forall x \in U \ P(x)) と $ P(x_1) \wedge P(x_2) \wedge P(x_3) が一致する的なロジックで量化子を取り除くとか？nishio.icon
これの真理集合は、$ Pの真理集合の要素3つの組の集合（直積）？yosider.icon
はてな？(何を言われてるのか理解できてない)nishio.icon
$ \bm P(x_1, x_2, x_3) := P(x_1) \wedge P(x_2) \wedge P(x_3) の真理集合は、$ Pの真理集合を$ Aとして$ \{(x_1, x_2, x_3) | x_1, x_2, x_3 \in A\} = A \times A \times Aかな、というyosider.icon
なるほど、言いたいことはわかったnishio.icon
x1とかは変数ではなくUの具体的な要素なのでそうはならないんじゃないかな…
あ、違うか、Uを変数にしたいのか
あるUiとPjを選んだ場合に、Aijは決まるけど、そうするとAが未定義だから「Aの直積か？」がナンセンスになりそう takker.icon
$ A=\{x\in U|P(x)\}
「UやPを変数としたときの真理集合」みたいなものは考えない？
集合を変数にするのは可能takker.icon
例
集合を変数とする開論理式$ P(V):\iff V\subseteq\Rの真理集合は$ \Rの冪集合$ 2^\Rになる
$ 2^\R=\{V|V\subseteq\R\}(厳密な式ではない)
論理式を変数にするのは直感的には可能なんだけど……takker.icon
これ以上は自分も知らないし変なことを言い出しかねないので書かない
$ U_i, P^j とが決まればそれぞれについての真理集合 $ A_i^jは決まるが、その中の一つを特別視して他のものとの関係を考えても何も見つからないのでは？nishio.icon
「その中の一つを特別視」とは？yosider.icon
$ Aのことnishio.icon
上記の方法で量化子を取り除いて、$ \neg\left(\bigwedge_{i\in\N} A_i\right) \Leftrightarrow \bigvee_{i\in\N}\left(\neg A_i\right)（ド・モルガンの法則）と変換して、また量化子での表現に戻すと、$ \lnot (\forall x \in U \ P(x)) \iff \exists x \in U \ ¬P(x)が得られる 単に帰納法で示すだけだと思いますtakker.icon
もちろん、$ Uが可算無限集合の場合だけしか説明できません
$ P(x)の変数は$ xなのに対して、$ (\forall x \in U \ P(x))の変数は$ U, P？なのでよくわからない
$ U, Pのとり得る値全体の集合を考えれば、同じように考えられそう
これをやると高階述語論理の話になって大変なことになるらしいtakker.icon 理由まではわからない。
文献がネットだと1つも見当たらなくて、調べようがない
書籍も日本語のは見つけたことがない
インデント深いし本題から外れた難しい話なので切り出して欲しいなーnishio.icon
どう切り出したものか…yosider.icon
とりあえず記号統一したいんですけど編集していいですか？takker.icon
逆にこれ無しで否定ってどうやって定義されているんだ？yosider.icon
流儀はめちゃくちゃ色々ありますが、基本的には公理と推論規則の組み合わせで定義されますtakker.icon 集合論は不要です