真理集合
$ P(x)が自由変数$ xの述語で、$ xの変域が集合$ Uであるとき、命題$ P(x)が真である$ Uの要素全体の集合のこと $ \{x|P(x)\}で表す
仮に$ A=\{x|P(x)\}となった場合、$ Aは$ Uの部分集合だといえる テキストの例
例3.3~3.5
3.3は比較的簡単な例cFQ2f7LRuLYP.icon
$ xの変域を自然数全体の集合$ \Nとし、自由変数の述語$ P(x)が$ x<5を表している
このとき真理集合を$ Aとすると
$ A=\{x|x<5\}
3.4は$ xの変域によって真理集合の様子が全く異なってくることの例
上のAでいうとcFQ2f7LRuLYP.icon
xの変域が自然数全体の集合$ \Nなら$ A=\{1,2,3,4\}となる
でもこれが実数全体の集合$ \Rなら……どうなる？
これは外延的記法では書けない、無数にある
有理数とその間にあるたっくさんの無理数
$ A=\{x<5\}？
一般に, $ xの変域が$ Uで, 自由変数$ xについての述語$ P(x)が$ xについての方程式であるとき, $ P(x)をみたす$ Uの要素を, 方程式$ P(x)の解といいます. そして, $ P(x)の真理集合$ \{x|P(x)\}, すなわち, 方程式$ P(x)の解全体の集合を, 方程式$ P(x)の解集合または解空間といいます. (p.27)
例えば$ xの変域が実数全体の集合$ \Rで、自由変数$ xの述語を「$ x^2-2x+1=0」とするcFQ2f7LRuLYP.icon
このときの真理集合は$ \{x|x^2-2x+1=0\}
外延的記法であらわすと$ \{1\}
解全体の集合を解集合・解空間と呼ぶので、$ x^2-2x+1=0の解集合は$ \{1\}となる
3.6は変域すべてが真理集合となる場合、3.7は変域すべてが真理集合とならない場合
たとえば？cFQ2f7LRuLYP.icon
変数$ xの変域を$ \Nとして、$ P(x),Q(x)を自由変数$ xの述語であるとしよう
このとき$ P(x)が$ x+1=3、$ Q(x)が$ x+4=6だとする
$ P(x)の真理集合は$ \{2\}のみ
同じく$ Q(x)の真理集合は$ \{2\}のみ
$ \{x|P(x)\}=\{x|Q(x)\}であるので、両者は同値だといえる
$ P(x) \iff Q(x)