開基から位相を生成

from 内田 5章位相空間

位相空間$ (X,\mathcal O)の開基$ \mathcal Bを用いて、位相を$ \mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}と表せる

一般に次の同値変形が成り立つ

$ \forall X\neq\varnothing\forall\mathcal O,\mathcal B\subseteq2^X:

$ \begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\end{dcases}\iff\begin{dcases}\mathcal O=\{O\in2^X\mid\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ \mathscr O_X：$ Xの開集合系全体の集合

証明

(L)⇒(R)

$ \begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\\\forall x\in X\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq X\end{dcases}

$ \because X\in O

$ \iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\\\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:X=\bigcup\mathcal B_0\end{dcases}

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \subseteq\bigcup\mathcal B

$ \becauseA⊆B⇒⋃A⊆⋃B

$ \subseteq X

$ \because\mathcal B\subseteq 2^X

$ \iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x:\end{dcases}

$ x\in B_1\cap B_2

$ \iff\exist O\in\mathcal O:x\in O\land O=B_1\cap B_2

$ \because B_1,B_2\in\mathcal B\subseteq\mathcal Oと開集合系の公理(O2)

$ \iff\exist O\in\mathcal O\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq O=B_1\cap B_2

$ \because\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O

$ \implies \exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2

$ \iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\mathcal O\subseteq\{O\in 2^X|\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\\\forall O\in2^X:\end{dcases}

$ \forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O

$ \iff\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \in\mathcal O

$ \because\mathcal B_0\subseteq\mathcal B\subseteq\mathcal O\landA⊆B⇒⋃A⊆⋃B$ \land開集合系の公理(O3)

$ \implies O\in\mathcal O

$ \iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\mathcal O=\{O\in 2^X|\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B_3:x\in B\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ \underline{\implies\begin{dcases}\mathcal O=\{O\in 2^X|\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}\quad}_\blacksquare

(R)⇒(L)

$ \begin{dcases}\mathcal O=\{O\in 2^X|\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\X=\bigcup\mathcal B\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \iff\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\X\in\mathcal O\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ O_1,O_2\in\mathcal O

$ \iff\begin{dcases}\exist\mathcal B_1\subseteq\mathcal B:O_1=\bigcup\mathcal B_1\\\exist\mathcal B_2\subseteq\mathcal B:O_2=\bigcup\mathcal B_2\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\forall x\in O_1\exist B_1\in\mathcal B:x\in B_1\subseteq O_1\\\forall x\in O_2\exist B_1\in\mathcal B:x\in B_2\subseteq O_2\end{dcases}

$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2\exist B_1,B_2\in\mathcal B:x\in B_1\cap B_2\subseteq O_1\cap O_2

$ \iff\forall x\in O_1\cap O_2\exist B_1,B_2\in\mathcal B\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\subseteq O_1\cap O_2

$ \because\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2

$ \implies\forall x\in O_1\cap O_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B_3\subseteq O_1\cap O_2

$ \iff\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O_1\cap O_2=\bigcup\mathcal B_0

$ \iff O_1\cap O_2\in\mathcal O

$ \iff\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\X\in\mathcal O\\\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B\subseteq B_1\cap B_2\\\forall\mathcal O':\end{dcases}

$ \mathcal O'\subseteq\mathcal O

$ \iff\forall O\in\mathcal O'\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0

$ \iff\forall O\in\mathcal O'\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\in\mathcal O'

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \implies\forall x\in\bigcup\mathcal O'\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq\bigcup\mathcal O'

$ \iff\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:\bigcup\mathcal O'=\bigcup\mathcal B_0

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \iff\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

$ \iff\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\forall x\in B_1\cap B_2\exist B_3\in\mathcal B:x\in B\subseteq B_1\cap B_2\end{dcases}

$ \iff\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall B_1,B_2\in\mathcal B\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:B_1\cap B_2=\bigcup\mathcal B_0\end{dcases}

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

$ \implies\begin{dcases}\mathcal O=\left\{O\in 2^X\middle|\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\right\}\\\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall B\in\mathcal B:B\in\mathcal O\end{dcases}

$ \implies\begin{dcases}\forall O\in\mathcal O\exist\mathcal B_0\subseteq\mathcal B:O=\bigcup\mathcal B_0\\\mathcal O\in\mathscr O_X\\\mathcal B\subseteq\mathcal O\end{dcases}

$ \underline{\iff\begin{dcases}\mathcal B\subseteq\mathcal O\in\mathscr O_X\\\forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist U\in\mathcal B:x\in U\subseteq O\end{dcases}\quad}_\blacksquare

$ \because∀O∀B:(∃B0⊆B:O=⋃B0)⇔(∀x∈O∃b∈B:x∈b⊆O)

#2025-07-26 13:07:47

#2025-02-13 18:53:59