A⊆B⇒⋃A⊆⋃B
$ \mathcal A\subseteq\mathcal B\implies\bigcup\mathcal A\subseteq\bigcup\mathcal B
部分位相が位相であることの証明に必要になりそうだったので、示したtakker.icon 証明
$ \mathcal A\subseteq\mathcal B
$ \iff\forall A\in\mathcal A:A\in\mathcal B
$ \iff\forall A\in\mathcal A\forall x\in A:A\in\mathcal B\land x\in A
$ \implies\forall A\in\mathcal A\forall x\in A\exist B\in\mathcal B:x\in B
$ \iff\forall x\forall A\in\mathcal A:(x\in A\implies\exist B\in\mathcal B:x\in B)
$ \iff\forall x:((\exist A\in\mathcal A:x\in A)\implies\exist B\in\mathcal B:x\in B)
$ \underline{\iff\bigcup\mathcal A\subseteq\bigcup\mathcal B\quad}_\blacksquare
試行錯誤
$ \mathcal A\subseteq\mathcal B
$ \iff\forall A\in\mathcal A:A\in\mathcal B
思いつかない。逆から攻める
$ \bigcup\mathcal A\subseteq\bigcup\mathcal B
$ \iff\forall x\in\bigcup\mathcal A:x\in\bigcup\mathcal B
$ \iff\forall x:((\exist A\in\mathcal A:x\in A)\implies(\exist B\in\mathcal B:x\in B))
和集合の公理から$ \forall\mathcal A\forall x:(x\in\bigcup\mathcal A\iff\exists A\in \mathcal{A};x\in A)が成立する $ \iff\forall A\in\mathcal A\forall x\in A\exist B\in\mathcal B:x\in B
$ \iff\forall A\in\mathcal A:A\subseteq\bigcup\mathcal B
流石に同値変形は無理かtakker.icon
でも展開方法はわかった