連続写像の合成は連続写像
任意の位相空間$ (X_1,\mathcal O_1),(X_2,\mathcal O_2),(X_3,\mathcal O_3)にて任意の写像$ f:X_1\to X_2,g:X_2\to X_3が連続写像のとき、$ g\circ fも連続写像である 証明
$ \mathcal O_3\subseteq{g^\gets}^\gets(\mathcal O_2)\land\mathcal O_2\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal O_1)
$ \iff\forall O_3\in\mathcal O_3:g^\gets(O_3)\in\mathcal O_2\land\forall O_2\in\mathcal O_2:f^\gets(O_2)\in\mathcal O_1
$ \implies\forall O_3\in\mathcal O_3:f^\gets(g^\gets(O_3))\in\mathcal O_1
$ \iff\forall O_3\in\mathcal O_3:\{x_1\in X_1\mid f(x_1)\in g^\gets(O_3)\}\in\mathcal O_1
$ \iff\forall O_3\in\mathcal O_3:\{x_1\in X_1\mid g\circ f(x_1)\in O_3\}\in\mathcal O_1
$ \iff\forall O_3\in\mathcal O_3:(g\circ f)^\gets(O_3)\in\mathcal O_1
一般に、$ f^\gets\circ g^\gets=(g\circ f)^\getsが成立する
$ \underline{\iff\mathcal O_3\subseteq{(g\circ f)^\gets}^\gets(\mathcal O_1)\quad}_\blacksquare
位相の性質を全く使わずに示せたtakker.icon 連続写像の定義と同様の定義をしてさえすれば、同様に合成写像も同じ性質を示すと示せるということか