等長写像

定義

$ \forall x_1,x_2\in X:d_Y(f(x_1),f(x_2))=d_X(x_1,x_2)

$ \forall x_1,x_2\in X:\Vert f(x_1)-f(x_2)\rVert_Y=\lVert x_1-x_2\rVert_X

$ \iff\forall x_1,x_2\in X:\Vert f(x_1-x_2)\rVert_Y=\lVert x_1-x_2\rVert_X

$ \iff\forall x\in X:\lVert f(x)\rVert_Y=\lVert x\rVert_X

が成立する

上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、リーマン多様体の間の等長写像（各点の微分が等長写像になるというように定義される。詳しい方の加筆を求む!）はその構造をすべて保存する。このような等長写像は運動と呼ばれ、運動の全体はある群をなす。