直交tensorの微分は、反対称tensorの微分と元の直交tensorの積に分解

できる

(2次元の場合)$ \exists\theta;\mathrm{d}\pmb{A}=(\pmb{\epsilon}\mathrm{d}\theta)\cdot\pmb{A}=\pmb{\epsilon}\cdot\pmb{A}\mathrm{d}\theta

$ \pmb{\epsilon}は2次元2階完全反対称単位tensor

任意の2次元2階反対称tensorの微分が$ \pmb\epsilon\mathrm d\thetaとなる

$ \thetaの解まで求まると便利なんだけどなーtakker.icon

2次元直交tensorのパラメタ表示

(3次元の場合)$ \exists\pmb{\theta};\mathrm{d}\pmb{A}=({\Large\pmb{\epsilon}}\cdot\mathrm{d}\pmb{\theta})\cdot\pmb{A}

$ {\Large\pmb{\epsilon}}は3階完全反対称tensor

$ \pmb{\epsilon}\mathrm{d}\theta,{\Large\pmb{\epsilon}}\cdot\mathrm{d}\pmb{\theta}が反対称tensorになる

導出

任意の直交tensor$ \pmb{A}について、

$ \pmb{A}\cdot\pmb{A}^\top=\pmb{I}(=\rm Const.)

$ \implies \pmb{0}=\mathrm{d}(\pmb{A}\cdot\pmb{A}^\top)=(\mathrm{d}\pmb{A})\cdot\pmb{A}^\top+\pmb{A}\cdot\mathrm{d}(\pmb{A}^\top)

$ \implies ((\mathrm{d}\pmb{A})\cdot\pmb{A}^\top)^\top=-(\pmb{A}\cdot\mathrm{d}(\pmb{A}^\top))^\top=-(\mathrm{d}\pmb{A})\cdot\pmb{A}^\top

$ \because \mathrm{d}(\pmb{A}^\top)=(\mathrm{d}\pmb{A})^\top

$ \begin{aligned}\implies&\exists\pmb{\Omega};\\&\begin{dcases}\mathrm{d}\pmb{\Omega}&=(\mathrm{d}\pmb{A})\cdot\pmb{A}^\top\\\mathrm{d}\pmb{\Omega}&=-(\mathrm{d}\pmb{\Omega})^\top\end{dcases}\end{aligned}

$ \begin{aligned}\iff&\exists\pmb{\Omega};\\&\begin{dcases}\mathrm{d}\pmb{A}&=(\mathrm{d}\pmb{\Omega})\cdot\pmb{A}\\\mathrm{d}\pmb{\Omega}&=-(\mathrm{d}\pmb{\Omega})^\top\end{dcases}\end{aligned}

直交tensorの微分$ \mathrm d\pmb Aは、反対称tensorの微分$ \mathrm d\pmb\Omegaと元の直交tensor$ \pmb Aの積に分解できる

$ \iff

(2次元の場合)$ \exists\theta;\mathrm{d}\pmb{A}=(\pmb{\epsilon}\mathrm{d}\theta)\cdot\pmb{A}=\pmb{\epsilon}\cdot\pmb{A}\mathrm{d}\theta

$ \pmb{\epsilon}は2階完全反対称tensor

(3次元の場合)$ \exists\pmb{\theta};\mathrm{d}\pmb{A}=({\Large\pmb{\epsilon}}\cdot\mathrm{d}\pmb{\theta})\cdot\pmb{A}

$ {\Large\pmb{\epsilon}}は3階完全反対称tensor

直交tensorも反対称tensorも回転に関わる変換だが、前者が有限回転、後者が無限小回転を表していると解釈できる

応用例

円運動

ある質点が、直交tensor$ \pmb{A}(t)を用いて$ \pmb{r}(t)=\pmb{A}(t)\cdot\pmb{r}(0)と表される運動をしているとする

この運動は球運動 (2次元の場合は円運動)となる

$ \because|\pmb{r}(t)|^2=(\pmb{A}\cdot\pmb{r}(0))\cdot(\pmb{A}\cdot\pmb{r}(0))=(\pmb{A}\cdot\pmb{A}^\top):\pmb{r}(0)\pmb{r}(0)=\pmb{I}:\pmb{r}(0)\pmb{r}(0)=|\pmb{r}(0)|^2

$ \implies |\pmb{r}|=\rm Const.

もしかして、線型な等長変換は直交変換と常に等しい？takker.icon

そうっぽい

ユニタリ行列 - Wikiwand

複素線型空間のときは、Unitary tensorにする必要がある

Unitary行列

このとき、質点の速度$ \dot{\pmb{r}}は、あるvectorの時間微分係数$ -\dot{\pmb{\theta}}を用いて

$ \dot{\pmb{r}}=\dot{\pmb{A}}\cdot\pmb{r}(0)

$ =({\Large\pmb{\epsilon}}\cdot-\dot{\pmb{\theta}})\cdot\pmb{A}\cdot\pmb{r}(0)

$ =({\Large\pmb{\epsilon}}\cdot-\dot{\pmb{\theta}})\cdot\pmb{r}

$ =\dot{\pmb{\theta}}\times\pmb{r}

と表される。

この$ \dot{\pmb{\theta}}を角速度vectorと呼ぶ

#直交行列の微分は、反対称行列の微分と元の直交行列の積に分解

#2023-10-28 07:02:43

#2023-06-30 20:57:43

#2022-08-21 08:29:14