角速度vector
$ \bm\omega:=\frac{\bm r\times\bm v}{|\bm r|^2}\llbracket|\bm r|\neq0\rrbracket
$ \bm v:=\dot{\bm r}
$ \bm r_0まわりの場合の式
$ \bm\omega=\frac{(\bm r-\bm r_0)\times\bm v}{|\bm r-\bm r_0|^2}\llbracket|\bm r-\bm r_0|\neq0\rrbracket
$ \bm r_0が動く場合の式
$ \bm\omega=\frac{(\bm r-\bm r_0)\times(\bm v-\dot\bm r_0)}{|\bm r-\bm r_0|^2}\llbracket|\bm r-\bm r_0|\neq0\rrbracket
性質
$ \bm\omega\times\bm r=-\hat\bm r\times(\hat\bm r\times\bm v)
$ =\bm v-\bm v\cdot\hat\bm r\hat\bm r
回転中心方向と垂直に運動している場合は$ \bm v=\bm\omega\times\bm rとなる
渦度$ \bm\nabla\times\bm vとの関係 一般に$ \bm\nabla\times\bm v=2\pmb{\omega}+\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega-(\bm\nabla\cdot\bm\omega)\bm r
特に $ \bm\nabla\times\bm v=2\bm\omega\iff\bm\nabla\bm\omega=\bm 0が成立する
「渦度が角速度の2倍になる」と言われているのがこれ
$ \bm\omega=\rm const.が導出によく使われているが、実際には勾配が0であれば十分で、角速度自体は時間変化して構わない
双方が必要十分条件になっていることに注目
$ \bm\nabla\times\bm v=2\bm\omega\iff\bm\nabla\bm\omega=\bm 0の導出
(L)→(R)
$ \bm\nabla\times\bm v=2\bm\omega
$ \iff\begin{dcases}\bm 0&=\bm0+\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega-(\bm\nabla\cdot\bm\omega)\bm r\\\bm\nabla\times\bm v&=2\bm\omega\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega&=(\bm\nabla\cdot\bm\omega)\bm r\\\bm\nabla\times\bm v&=2\bm\omega\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega&=(\bm\nabla\cdot\bm\nabla\times\bm v)\bm r\\\bm\nabla\times\bm v&=2\bm\omega\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega&=\bm 0\\\bm\nabla\times\bm v&=2\bm\omega\end{dcases}
$ \iff\begin{dcases}\bm r=\bm 0\lor\det\bm\nabla\bm\omega&=0\\\bm\nabla\times\bm v&=2\bm\omega\end{dcases}
$ \implies\bm r=\bm 0\lor\det\bm\nabla\bm\omega=0
$ \iff\bm\nabla\bm\omega=0
ここ自信ないtakker.icon
$ \bm r=\bm 0の場合は$ \bm r=\bm 0\implies\bm\omega=\bm 0\implies \bm\nabla\bm\omega=\bm 0なので問題なし
$ \det\bm\nabla\bm\omega=0は？
$ \bm\nabla\bm\omegaは逆行列が存在すると考えていい？
ここがわからない
$ \bm\omegaの特異点 or 臨界点が領域内に存在しなければOK まあ普通はOKでいいんじゃないかなtakker.icon
(R)→(L)
$ \bm\nabla\bm\omega=\bm 0
$ \implies\bm\nabla\times\bm v=2\pmb{\omega}+\bm r\cdot\bm\nabla\bm\omega-(\bm\nabla\cdot\bm\omega)\bm r
$ = 2\bm\omega+\bm 0-\bm 0
$ =2\bm\omega
$ \iff\bm\nabla\times\bm v=2\bm\omega
性質
$ \pmb{\Omega}=2\pmb{\omega}
$ \pmb{\Omega}:=\pmb{\nabla}\times\pmb{v}
$ \pmb{\nabla}\times\pmb{v}=\pmb{\nabla}\times(\pmb{\omega}\times\pmb{r})
$ =(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{r})\pmb{\omega}+(\pmb{r}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{\omega}-((\pmb{\nabla}\cdot\pmb{\omega})\pmb{r}+(\pmb{\omega}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{r})
$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{r}=\sum_i\frac{\partial r_i}{\partial r_i}=3
$ \pmb{\nabla}\pmb{r}=\sum_i\frac{\partial r_i}{\partial r_i}\pmb{e}_i\pmb{e}_i=\pmb{I}
$ \because i\neq j\implies\frac{\partial r_i}{\partial r_j}=0
より、
$ \pmb{\nabla}\times\pmb{v}=3\pmb{\omega}+(\pmb{r}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{\omega}-((\pmb{\nabla}\cdot\pmb{\omega})\pmb{r}+\pmb{\omega})
$ =2\pmb{\omega}+(\pmb{r}\cdot\pmb{\nabla})\pmb{\omega}-(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{\omega})\pmb{r}
$ 2\pmb{\omega}になんないじゃん！！！takker.icon
どうやら$ \bm\nabla\bm\omega=\bm 0でしか成立しない式のようだ