2次元直交tensorのパラメタ表示

$ \pmb A^\top\cdot\pmb A=\pmb I

$ \iff [\pmb A^\top]^{\sf E\bar E}_{ik}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{kj}=\llbracket i=j\rrbracket

$ \iff [\pmb A]^{\sf \bar EE}_{ki}[\pmb A]^{\sf E\bar E}_{kj}=\llbracket i=j\rrbracket

$ {[\pmb A]^{\sf EE}_{ki}}^2=1

となる。

$ |\pmb A\cdot\pmb e_i|^2={[\pmb A\cdot\pmb e_i]^{\sf E}_k}^2=1

なので、

$ \pmb A\cdot\pmb e_0=\pmb e_0\cos\theta+\pmb e_1\sin\theta

とする。

$ [\pmb A]^{\sf EE}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\mp\sin\theta\\\sin\theta&\pm\cos\theta\end{pmatrix}

となる。

これを分解すると、回転行列の場合

$ [\pmb A]^{\sf EE}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

$ = \cos\theta[\pmb I]^{\sf EE}-\sin\theta[\pmb\epsilon]^{\sf EE}

$ \implies \pmb A=\pmb I\cos\theta-\pmb\epsilon\sin\theta

となる。

$ \mathrm{tr}\pmb A=2\cos\theta

$ \therefore \theta=\cos^{-1}\frac12\mathrm{tr}\pmb A

これだと回転角が負かどうか判定できないな……

対称変換の場合の固有方程式

$ \lambda^2-0-1=0

$ \iff \lambda=\pm1

$ \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}

$ \iff a(\cos\theta\pm1)+b\sin\theta=a\sin\theta+b(-\cos\theta\pm 1)=0

$ \implies a(\cos\theta\pm1)(-\cos\theta\pm 1)+b\sin\theta(-\cos\theta\pm 1)=-a(\sin\theta)^2-b\sin\theta(-\cos\theta\pm 1)

$ \implies a(1-(\cos\theta)^2)-a(\sin\theta)^2=0

これは0だから当たり前か。

$ \frac{\cos\theta\pm1}{-\sin\theta}=-\frac{2\cos\frac12\theta\cos\frac12\theta\pm1-1}{2\cos\frac12\theta\sin\frac12\theta}

$ =\begin{dcases}-\frac{2\cos\frac12\theta\cos\frac12\theta}{2\cos\frac12\theta\sin\frac12\theta}\\-\frac{2(\cos\frac12\theta\cos\frac12\theta-1)}{2\cos\frac12\theta\sin\frac12\theta}\end{dcases}

$ =\begin{dcases}-\frac1{\tan\frac12\theta}\\\tan\frac12\theta\end{dcases}

$ \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\frac12\theta\\\sin\frac12\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\frac12\theta-\sin\theta\sin\frac12\theta\\\sin\theta\cos\frac12\theta-\cos\theta\sin\frac12\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\left(\theta-\frac12\theta\right)\\\sin\left(\theta-\frac12\theta\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\frac12\theta\\\sin\frac12\theta\end{pmatrix}

$ \pmb R=\pmb I\cos\theta+(1-\cos\theta)\pmb e_2\pmb e_2-(\sin\theta)\pmb e_2\cdot{\Large\pmb\epsilon}

$ = \cos\theta(\pmb e_0\pmb e_0+\pmb e_1\pmb e_1)-\sin\theta(\epsilon_{201}\pmb e_0\pmb e_1+\epsilon_{210}\pmb e_1\pmb e_0)+\pmb e_2\pmb e_2

$ = \cos\theta\pmb e_0\pmb e_0-\sin\theta\pmb e_0\pmb e_1

$ +\sin\theta\pmb e_1\pmb e_0+\cos\theta\pmb e_1\pmb e_1

$ +\pmb e_2\pmb e_2

確かに整合する