多様体
$ \forall n\in\Nで、Hausdorff空間$ (H,\mathcal O)の開集合$ Uから$ \R^nの通常の位相の任意の元$ U'\subseteq\R^nへの同相写像$ \varphi:U\to U'があるとき、以下を定義する $ \varphiの値域は$ \R^nの部分集合なので、組の形で表せる
$ \varphi(p)=(\varphi^0(p),\varphi^1(p),\dots)
$ \varphi^\bullet:U\mapsto\Rを$ \varphiの座標函数という 1. $ M=\bigcup\{U\in\mathcal O|\exist\varphi:(U,\varphi)\in\mathcal U\}
2. $ \forall (U_\alpha,\varphi_\alpha),(U_\beta,\varphi_\beta)\in\mathcal U:U_\alpha\cap U_\beta\neq\varnothing\implies\varphi_\beta\circ\left.{\varphi_\alpha}^{-1}\right|_{{\varphi_\alpha}^\gets(U_\alpha\cap U_\beta)}\in C^\infty
$ {\varphi_\alpha}^{-1}:\R^n\to U_\alphaの定義域を$ {\varphi_\alpha}^\gets(U_\alpha\cap U_\beta)に制限すれば、$ \varphi_\beta:U_\beta\to\R^nに合成できる
$ n次元微分可能多様体の座標近傍$ (U,\varphi)上の函数$ f:U\to\Rの$ \varphi^\mu偏微分を次のように定義する $ \frac{\partial f}{\partial \varphi^\mu}:p\mapsto(\partial_\mu f\circ{\varphi^{-1}})(\varphi(p))
ここで、$ \partial_\muを、多変数函数$ \varphi^{-1}の$ \mu番目の変数による偏微分とした
$ \varphi^{-1}を使って$ fを実多変数函数に変換し、通常の偏微分に持ち込んでいる 別の座標近傍$ (V,\psi)で$ \frac{\partial f}{\partial \varphi^\mu}を表す
$ \forall p\in U\cap Vにて
$ \frac{\partial f}{\partial \psi^\mu}(p)=(\partial_\mu f\circ\psi^{-1})(\psi(p))
$ = (\partial_\mu f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\psi^{-1})(\psi(p))
$ = (\partial_\nu f\circ\varphi^{-1})(\varphi\circ\psi^{-1}\circ\psi(p))(\partial_\mu\varphi^\nu\circ\psi^{-1})(\psi(p))
$ = (\partial_\nu f\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))(\partial_\mu\varphi^\nu\circ\psi^{-1})(\psi(p))
$ =\frac{\partial f}{\partial \varphi^\nu}(p)\frac{\partial\varphi^\nu}{\partial \psi^\mu}(p)
ここから、
$ \frac{\partial\psi^\rho}{\partial \varphi^\nu}(p)\frac{\partial\varphi^\nu}{\partial \psi^\mu}(p)=\frac{\partial\psi^\rho}{\partial \psi^\mu}(p)
$ =(\partial_\mu\psi^\rho\circ\psi^{-1})(\psi(p))
$ =\llbracket\mu=\rho\rrbracket
$ \because \psi^\rho\circ\psi^{-1}(x_\bullet)=x_\rho
なので、$ \frac{\partial\psi^\rho}{\partial \varphi^\nu},\frac{\partial\varphi^\nu}{\partial \psi^\mu}は逆tensorの関係にある
$ C^r-manifold, manifold of class $ C^r
0も自然数とする
$ \forall n,r\in\Z_{\ge0}\forall\Lambdaと任意のHausdorff空間$ \mathbf X=(X,\mathcal O)を用意する $ \Lambdaの濃度はなんでもいい
そのうち課すと便利になることがある
A pair $ (X,(u_\alpha,V_\alpha,\phi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}) is an $ n-dimentional $ C^r-manifold if
$ U_\alpha\subseteq_\text{open}\mathbf X
$ U_\alphaは$ \mathbf Xの開集合ということ
面白い書き方するなtakker.icon
$ V_\alpha\subseteq_\text{open}\mathbf R^n
$ \phi_\alpha:U_\alpha\to V_\alpha：同相写像 $ \forall\alpha,\beta\in\Lambda:\phi_\beta\circ{\phi_\alpha}^{-1}:{\phi_\alpha}^\to(U_\alpha\cap U_\beta)\to{\phi_\beta}^\to(U_\alpha\cap U_\beta)\text{ is of class }C^r
$ {\phi_\alpha}^\to(U_\alpha\cap U_\beta)\subseteq_\text{open}\mathbf R^n
値域は開集合でなくともいい
$ X=\bigcup_{\alpha\in\Lambda} U_\alpha
用語
$ n=:\dim\mathbf X：$ \mathbf Xの次元という
昔の本はこういう風に区別して書いていることもあるらしい
ただ、まあ表記ゆれのレベルである、指し示していることは全て同じ
$ (U_\alpha,V_\alpha,\phi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}をatlasという compatibleなものを集めたatlas
「位相空間$ (X,\mathcal O)上にC^0級のatlasを与える」 $ \iff\forall x\in X\exist U\in\mathcal O\exist V\in\mathcal O_{\R^n}\exist\phi: U\to V: x\in U\land\phi\text{ is a homoomoyhism}
スペルわからんtakker.icon
$ \iff:\mathbf X\text{is locally Euclidean}
常に多様体になるわけではない
This topological space $ \mathbf X is a topological manifold
などという文に意味がつく
ただし、$ r\ge1のとき$ C^r-manifoldは位相空間にのっている構造
なのでThis topological space $ \mathbf X is a $ C^r-manifold. という文は無意味
正しくは
This topological space $ \mathbf X admits a $ C^r-manifold structure.
This topological space $ \mathbf X is equipped with a $ C^r-manifold structure.
のような言明になる
どゆこと？どちらも条件では？takker.icon
「こういう条件を仮定したとき～」とか「こういうときこの条件が成り立つ」とか言えばいいのでは？
いや、自動的に成り立つ性質だから、それを仮定しないとき、というのは成立しないのか？
多様体の例
$ \R^nに通常の位相を入れた位相空間は$ C^\infty級多様体の構造を持つ このとき$ (\R^n,\R^n,\mathrm{id}_{\R^n})となる
$ n\neq4のときはこの構造しかないが、4次元多様体だと他の構造が非可算無限個あるらしい 同じ、違うの基準は後述
n次元球面$ \mathbf S^n(n-dimentional sphere) $ S^n:=\{\bm x\in\R^{n+1}|\lVert\bm x\rVert=1\}
2次元球面$ S^3なら、三次元空間上に浮いている球体の表面だと見れる
equipped with the topology induced from $ \R^{n+1}
$ S^nにはn-dim$ C^\infty-manifoldの構造が入る
面の領域をずらしながらatlasを作る
任意の$ C^r級多様体$ (X_1,(U_\alpha^1,V_\alpha^1,\phi_\alpha^1)_{\alpha\in\Lambda_1}),(X_2,(U_\alpha^2,V_\alpha^2,\phi_\alpha^2)_{\alpha\in\Lambda_2})の直積集合をとったもの $ (X_1\times X_2,(U_\alpha^1\times U_\beta^2,V_\alpha^1\times V_\beta^2,\phi_\alpha^1\times\phi_\beta^2)_{(\alpha,\beta)\in\Lambda_1\times\Lambda_2}
e.g. n次元トーラス$ \mathbf T^n:=\prod_{1\le i\le n}\mathbf S^i($ n\ge 1) $ C^r級$ n次元多様体$ (X,(U_\alpha,V_\alpha,\phi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda})
$ O\in\mathcal O
このとき$ (O,(O\cap U_\alpha,{\phi_\alpha}^\to(O\cap V_\alpha),\left.\phi_\alpha\right|_{O\cap V_\alpha})_{\alpha\in\Lambda})も$ C^r級$ n次元多様体になる
Such$ (O,(O\cap U_\alpha,{\phi_\alpha}^\to(O\cap V_\alpha),\left.\phi_\alpha\right|_{O\cap V_\alpha})_{\alpha\in\Lambda}) is called an open submanifold of $ (X,(U_\alpha,V_\alpha,\phi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda}) e.g. $ n\ge1で$ M_n(\R):=\{n\text{次実正方行列}\}\cong\R^{n^2}
この同一視で$ M_n(\R)に$ C^\infty級の構造が入る
$ \mathrm{GL}_n(\R):=\{A\in M_n(\R)|\det A\neq0\}
Non-example
$ \{\bm x\in\R^2|x_1=0\lor x_2=0\}は位相多様体ではない
任意の位相空間$ (X,\mathcal O)にて、
$ (X,\mathcal O)が0次元多様体$ \iff \mathcal O\text{ is disaele}($ \mathcal Oは離散位相) 単元集合$ \{x\}が全て開集合になっている状況であり、非自明な座標変換が存在しないので自動的に$ C^\infty級多様体の構造も入っている
後半何を言っているか理解できてないtakker.icon
同次元の多様体同士のを取り扱うときに出てくるらしい
eg. 任意の多様体は十分高$ n次元のEuclid空間$ \R^nに埋め込める 逆に、non-Hausdorffだが位相多様体の定義の他の条件をみたす位相空間もある eg. $ \Rの直線を2本用意する
多様体間の写像
任意の$ C^r級多様体$ (X_1,(U_\alpha^1,V_\alpha^1,\phi_\alpha^1)_{\alpha\in\Lambda_1}),(X_2,(U_\alpha^2,V_\alpha^2,\phi_\alpha^2)_{\alpha\in\Lambda_2})を用意する
$ \forall f:X_1\to X_2で$ f\text{ is a continuous map and a }C^r\text{-map}というのを以下で定義する
a map of class $ C^rともいう
$ \forall x\in X_1\forall(U_\alpha^1,V_\alpha^1,\phi_\alpha^1):\text{a chart of }X_1\text{ around }x\forall(U_\beta^2,V_\beta^2,\phi_\beta^2):\text{a chart of }X_2\text{ around }f(x)
$ \text{around }x:\iff x\in U_\bullet^\bullet
$ \phi_\beta^2\circ f\circ{\phi_\alpha^1}^{-1}:\phi_\alpha^\to(U_\alpha^1\cap f^\gets(U_\beta^2))\to V_\beta^2\text{ is }C^r
それぞれ$ \R^{\dim X_1},\R^{\dim X_2}の開集合系の部分集合となる
これにより、数値を介さず、直接多様体間の写像で可微分なものができた
これだと全てのchartを調べなければならず大変だが、座標変換が$ C^r級という多様体の性質のお陰で、そういうchartの存在のみ示せばいいことがわかっている
つまり
$ f\text{ is a }C^r\text{-map}\iff\forall x\in X_1\exist(U_\alpha^1,V_\alpha^1,\phi_\alpha^1):\text{a chart of }X_1\text{ around }x\exist(U_\beta^2,V_\beta^2,\phi_\beta^2):\text{a chart of }X_2\text{ around }f(x):\phi_\beta^2\circ f\circ{\phi_\alpha^1}^{-1}\text{ is }C^r
proof
$ \impliesは自明。$ \impliedbyを示す。
写像を寄り道して既知の$ C^r写像の合成写像から$ C^rを示せばいい
以下$ X_1=(X,(U_\alpha,V_\alpha,\phi_\alpha)_{\alpha\in\Lambda})と略す
写像に関する定義
任意の$ C^r級多様体$ X_1,X_2にて
a map $ f:X_1\to X_2 is a $ C^r-diffeorphism if
1. $ fは全単射
2. $ f,f^{-1}\in C^r
集合に関する定義
任意の$ C^r級多様体$ X_1,X_2にて
$ X_1\text{ and }X_2\text{ are diffeomorphic if}
$ \exist f:X_1\to X_2: f\text{ is a }C^r\text{-diffeomorphism}
ということで、多様体の分類を考えるときは微分同相な物は全て同じという立場で行う
微分同相で不変なものだけ調べていく
なお
$ C^0\text{ diffeomorphic}\iff\text{homeo}
微分同相な多様体があったとき、その微分同相写像は一意に定まらない $ \mathrm{Diff}(X):=\{f:X\to X|f\text{ is a }C^r\text{-diffeomorphism}\}
微分同相写像$ f:X_1\to X_2,g: X_2\to X_1が見つかった時、$ g\circ f\in\mathrm{Diff}(X_1)となる
Hausdorff空間$ (X,\mathcal O)にて、$ \mathcal U_1,\mathcal U_2を$ (X,\mathcal O)上のAtlasとする $ :\iff f:(X,\mathcal U_1)\ni x\mapsto x\in(X,\mathcal U_2)\text{ is }C^r\text{-diffemorphism}
これは、$ \forall U_1\in\mathcal U_1\forall U_2\in\mathcal U_2:U_1,U_2間の座標変換が$ C^r級ということ
$ \mathcal U_1\cong\mathcal U_2なら$ \mathcal U_1\cup\mathcal U_2も$ (X,\mathcal O)上の$ C^r級Atlasになる
よって、$ \mathcal U^{\max}:=\bigcup\{\mathcal U'|\mathcal U\cong\mathcal U'\}を得られる
以下、多様体$ (X,\mathcal U)を考えるとき、$ \mathcal U^{\max}に属するchartは自由に使うことにする
これで$ \forall O\in\mathcal O\forall x\in O\exist(U,V,\phi)\in\mathcal U^{\max}:x\in U\subseteq Oなどを使えるようになる
$ C^r-mapの合成は$ C^r
Fact: $ \forall r\in\Nと任意の$ C^r級多様体$ (X,\mathcal U)にて、$ \mathcal Uと$ C^r-同値な$ C^\inftyatlasが微分同相を除いて一意に存在する i.e.
1. $ \exist\mathcal V:C^\infty\text{-atlas on }X:\mathcal U\cong\mathcal V
2. $ \forall\mathcal U_1,\mathcal V_2:C^\infty\text{-atlas on }X:\mathcal U\cong\mathcal U_1\cong\mathcal U_2\implies(X,\mathcal U_1)\cong(X,\mathcal U_2)
以下では、全て$ C^\inftyとする
無限回微分できた方が議論が楽
以下、$ C^\inftyをsmooth (滑らか) と書くことがある
Fact
1. 3次元以下の任意の位相構造体上には微分同相を覗いて一意的に$ C^\infty-manifoldの構造が入る 2. 4次元以上の任意の次元だと、$ C^\infty-manifoldの構造をadmitしないような位相多様体が存在する
3. 4次元以上の任意の次元で互いにdiffeomorphicでないような$ C^\infty-manifoldの構造をもつtopological manifoldが存在する
References