収束空間
定義
(C1)$ \forall x\in X:\lang\{\{x\}\}\rang_X\to x
$ \lang\bullet\rang_\bullet：拡張 (集合) (C2)$ \forall x\in X\forall\mathcal F_1,F_2\in\mathscr F_X:\begin{dcases}\mathcal F_1\to x\\\mathcal F_2\to x\end{dcases}\iff\mathcal F_1\cap\mathcal F_2\to x
関連する定義
$ f(x)\to\alpha\quad(x\to a):\iff\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:(\mathcal F\to a\implies\lang{f^\to}^\to(\mathcal F)\rang_X\to\alpha)
位相空間の各種概念に相当する定義
$ A^\circ:=\Set{x\in X|\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\mathcal F\to x\implies A\in\mathcal F}
$ \overline{A}:=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\to x}
$ \mathcal N(x):=\Set{N\in2^X|x\in N^\circ}
$ =\Set{N\in2^X|N^\circ\in\lang\{\{x\}\}\rang_X}
関連概念
$ (X,\to)が前位相的$ :\iff\forall x\in X:\mathcal N(x)\to x
$ (X,\to)が位相的$ :\iff(X,\to)が前位相的$ \land\forall A\in2^X:{A^\circ}^\circ=A^\circ
$ \iff\forall\mathcal F\in\mathscr F_X\forall x\in X:(\mathcal F\to x\implies\Set{A\in2^X|A^\circ\in\mathcal F}\to x)
$ (X,\to)が正則的$ :\iff(X,\to)が位相的$ \land\forall\mathcal F\in\mathscr F_X\forall x\in X:(\mathcal F\to x\implies\lang\overline{\bullet}^\to(\mathcal F)\rang_X\to x)
$ (X,\to)がChoquet的$ :\iff\forall\mathcal F\in\mathscr F_X\forall x\in X:(\mathcal F\to x\implies\forall\mathcal F^*\in\mathrm{max}^*{\mathscr F_X}_{\supseteq\mathcal F}:\mathcal F^*\to x)
References
有向点列からの構成