位相空間における収束の定義

位相空間における収束の定義

任意の$ (X,\mathcal O)と$ \forall a:\N\to X\forall\alpha\in Xにて

点列$ a_\bulletは$ \alphaに収束する$ :\iff a_n\to\alpha\quad(n\to\infty)

$ :\iff\forall N\in\mathcal N(\alpha)\exist n_0\in\N\forall n>n_0:a_n\in N

$ \mathcal N(a)：$ aの全近傍系

極限の一意性より収束先は$ \alphaのみであるため、これを$ \lim_{n\to\infty}a_nと書く

$ \alphaを$ a_\bulletの極限点という

一般の函数

任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)と$ \forall f:X\to Y\forall a\in X\forall\alpha\in Yにて、

$ f(x)\to\alpha\quad(x\to a):\iff\lang {f^\to}^\to(\mathcal N_X(a))\rang_Y\to\alpha

右辺はfilterの収束を用いている